倒易点阵习题集

例题 2 ．1 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明] 选体心立方点阵的初基矢量如图1．8 所示， 1ˆˆˆ2aaxyz 2ˆˆˆ2aaxyz  3ˆˆˆ2aaxyz 其中a 是立方晶胞边长，ˆ ˆ ˆ, ,x y z是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积312312cVaaaa 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 123231312222,,cccbaa baa baaVVV 2123ˆˆˆˆˆ22222222cxyzVaaaabaaxyaaa  2231ˆˆˆˆˆ22222222cxyzVaaaabaayzaaa 2312ˆˆˆˆˆ22222222cxyzVaaaabaazxaaa 于是有： 123222ˆˆˆˆˆˆ,,bxybyzbzxaaa 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a． 同理，对面心立方点阵写出初基矢量 1ˆˆ2aaxy 2ˆˆ2aayz 3ˆˆ2aazx 如图1.10 所示。 初基晶胞体积312314cVaaaa。 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,bxyzbxyzbxyzaaa  显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a． 2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是32/cV，这里cV 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身． [证明] (a) 倒易点阵初基晶胞体积为123bbb，现计算123bbb．由式(2．1)知， 123231312222,,cccbaa baa baaVVV 此处 123cVaaa 而  222331123121311222ccbbaaaaaaaaaaaaVV 这里引用了公式： A BCDA BD CA BC D。 由于3110aaa，故有 22331212cbbaaaaV  而 312cVaaa 故有 22312cbbaV    233123111232222cccbbba baaaVVV 或写成 31231232bbbaaa...