第一章 概 述 1．1 偏微分方程工具箱的功能 偏微分方程工具箱(PDE Toolbox )提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。PDE Toolbox 的功能包括： (1) 设置PDE (偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数； (2) 用有限元法 (FEM) 求解PDE 数值解； (3) 解的可视化。 无论是高级研究人员还是初学者，在使用PDE Too1box 时都会感到非常方便。只要 PDE 定解问题的提法正确，那么，启动 MATLAB后，在 MATLAB 工作空间的命令行中键人 pdetool，系统立即产生偏微分方程工具箱(PDE Toolbox ) 的图形 用户 界 面 (Graphical User Interface，简记为 GUI)，即PDE 解的图形环境，这时就可以在它上面画出定解区域、设置方程和边界条件、作网格剖分、求解、作图等工作，详见 1．4 节中的例子。我们将在第二章详细介绍 GUI 的使用，在第二章给出大量典型例子和应用实例。除了用GUI 求解PDE 外，也可以用M 文件的编程计算更为复杂的问题，详见第三章和第四章 的内容。 1．2 PDE Toolbox 求解的问题及其背景 1．2．1 方程类型 PDE Toolbox 求解的基本方程有椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。 椭圆型方程： (), cua ufi n ， 椭圆型方程：(),,c uauf in 其中 是平面有界区域，c,a,f 以及未知数 u 是定义在 上的实（或复）函数。 抛物型方程：(), .udc uaufint 双曲型方程：22(), uc uaufint. 特征值方程：(), ,c uauduin 其中 d 是定义在 上的复函数， 是待求特征值。在抛物型方程和双曲型方程中，系数 c,a,f 和 d 可以依赖于时间 t。 可以求解非线性椭圆型方程： ( )( )( ), ,c uua uf uin 其中 c,a,f 可以是未知函数 u 的函数。 还可以求解如下 PDE方程组； 11112211 1122121122221 12221( )( ),( )( )cuucuua ua ufcuucuua ua uf 利用命令行可以求解高阶方程组。对于椭圆型方程，可以用自适应网格算法，还能与非线性解结合起来使用。 另外，对于 Poission方程还有一个矩形网格的快速求解器。 1．2．2 边界条件 （1）Diric...
