偏微分方程数值解期末试题及参考答案

2 0 0 5 —2 0 0 6 学年第 2 学期 《偏微分方程数值解》试卷 参考答案与评分标准 专业班级 信息与计算科学 开课系室 考试日期 2006.4.14 命题教师 王子亭 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得 分 阅卷人 Ａ卷 偏微分方程数值解试题(06A) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵 A 对称正定，定义)(),(),(21)(nRxxbxAxxJ，证明下列两个问题等价：(1)求nRx 0使 )(min)(0xJxJnRx;(2)求下列方程组的解：bAx  解: 设nRx 0是)(xJ的最小值点,对于任意的nRx ,令 ),(2),()()()(2000xAxxbAxxJxxJ, (3 分) 因此0是)(的极小值点,0)0(',即对于任意的nRx ,0),(0xbAx,特别取bAxx0,则有0||||),(2000bAxbAxbAx,得到bAx 0. (3 分) 反之,若nRx 0满足bAx 0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00xJxAxxxJ,因此0x 是)(xJ的最小值点. (4 分) 评分标准:)(的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 二（10 分）、 对于两点边值问题：0)(,0)(),()(buaubaxfqudxdupdxdLu 其中]),([,0]),,([,0)(min)(]),,([0min],[1baHfqbaCqpxpxpbaCpbax 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)()(),,(|{110buaubaHuuH为求解函数空间,检验函数空间.取),(10baHv ,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3 分) )().(),(vffvdxdxquvdxdvdxdupvuababa,),(10baHv  即变分问题的Galerkin 形式. (3 分) 令badxfuqudxdupufuuauJ])([21),(),(21)(22,则变分问题的 Ritz 形式为求),(10*baHu ,使)(min)(10*uJuJHu (4 分) 评分标准:空间描述与积分步骤3 分,变分方程3 分,极小函数及其变分问题4 分, 三（20 分）、对于边值问题 0|)1,0()1,0(),(,12222GuGyxyuxu （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。 （2）取3/1h，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就取Nh/1的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散khyjhxkj,,差分格式为 12221,1,2,1,1...