傅立叶级数表达形式与性质

傅立叶级数表达形式与性质 程栋材 PB07210245 周期函数是定义在(-∞,∞)区间，每隔一定时间T ，按相同规律重复变化的函数,一般表示为:    ,2,1,0)()(mmTtftf（3-12） 式中，T 为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为 Tf1 或角频率 fT22 对于非正弦周期函数，根据定理 3-1，可以用在区间),(00Ttt内完备的正交函数集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。 一. 三角函数表示式 由上节讨论可知，三角函数集),2,1,0,}(sin,{cosmntmtn在区间),(00Ttt内为完备正交函数集。根据定理 3-1，对于周期为T 的一类函数中任一个函数)(tf都可以精确地表示为}sin,{costmtn的线性组合，即对于 )()(nTtftf 有 )sincos(2)(10tnbtnaatfnnn   (3-13) 由式(3-10)，得 14)-(3 2)(2sin)(2cos)(22/2/02/2/2/2/TdttfTatdtntfTbtdtntfTaTTTTnTTn 式(3-13)称为周期信号)(tf的三角型傅里叶级数展开式。 若将式(3-13)中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即   10)cos()(nnntnAAtf (3-15) 比较式(3-13)和式(3-15)，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系：            2sincosarctan0022aAAbAaabbaAnnnnnnnnnnnn（3-16） 式(3-15)称为周期信号)(tf的余弦型傅里叶级数展开式。 式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中，2/0a是直流成分；tacos1,tbsin1称为基波分量，T2为基波频率；tnancos,tnbnsin称n次谐波分量。直流分量的大小，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号)(tf的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅na , nb , nA 和相位n 都是n的函数，并有： nA , na 是n的偶函数，即 nnnnAAaa； n ，nb 是n的奇函数，即 nnnnbb 二、 指数形式 因为复指数函数集),2,1,0}({netjn在区间),(00Ttt内也是一个完备的正交函数集，其中 2T，因此，根据定理 3-1，对于任意周期为T 的信号)(tf，可在区间),(00Ttt内表示为}{tjne的线性组合。即    ntjnneFtf)( (3-17) 式中nF 由...