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傅里叶变换和工程窗函数

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感谢数学手册 傅里叶变换 1 . 傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数(简称傅氏级数)是由正弦函数和余弦函数项组成的三角函数。 周期为T 的任一周期函数f(t),若满足下列狄里克雷条件: 1) 在一个周期内只有有限个不连续点; 2) 在一个周期内只有有限个极大和极小值点; 3) 积分/2/2( )TTf t dt存在, 则f(t)可展开为如下傅氏级数: 011( )(cossin)2nnnf taan t bn t (F-1) 式中系数na 和nb 由下式给出: /2/22( )cos;(0,1,2,...,)TnTaf tn tdt nT /2/22( )sin;(0,1,2,...,)TnTbf tn tdt nT 式中2/T称为角频率 周期函数f(t)的傅氏级数还可以写为复数形式(或指数形式): ( )jn tnnf ta e  (F-2) 式中系数 /2/21( )Tjn tnTaf t edtT 其中欧拉公式cossinj tetjt 如果周期函数f(t)具有某种对称性质,如为偶函数、奇函数,或只有偶次谐波,则傅氏级数中的某些项为0,系数公式可以简化,下表列出了具有几种对称性质的周期函数f(t)的傅氏级数简化结果: 对称性 特点 na nb 1( )f t 偶函数11( )()f tft 只有余弦项 /2104( )cosTf tn tdtT 0 2( )f t 奇函数22( )()f tft  只有正弦项 0 /2204( )sinTf tn tdtT 3( )f t 只有偶次谐波33(/ 2)( )f t Tf t 只有偶数n /2304( )cosTf tn tdtT /2304( )sinTf tn tdtT 4( )f t 只有奇次谐波44(/ 2)( )f t Tf t  只有奇数n /2404( )cosTf tn tdtT /2404( )sinTf tn tdtT 2 . 傅里叶积分和傅里叶变换 任一周期函数只要满足狄里克雷条件,便可以展开为傅氏级数,对于非周期函数,因为其周期T 为趋于无穷大,不能直接用傅氏级数展开,而要做某些修改,这样就引出了傅里叶积分。 若 f(t)为非周期函数,则可视它为周期T 为趋于无穷大,角频率02/T趋于0的周期函数,这时,在傅氏级数展开式中,各个相邻的谐波频率之差00(1)nn便很小,谐波频率0n 须用一个变量 代替【注意,此处 不同于(F-1)所述的角频率】。这样,式(F-2)便可改写为: ( )j tnf te   (F-3) /2/2( )2Tj tTf t edt 于是便得: /2/2/2/21( )[( )][( )]22TTj tj tj tj tnnTTf tf t...

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