傅里叶变换和工程窗函数

感谢数学手册 傅里叶变换 1 . 傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦函数和余弦函数项组成的三角函数。 周期为T 的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里克雷条件： 1) 在一个周期内只有有限个不连续点； 2) 在一个周期内只有有限个极大和极小值点； 3) 积分/2/2( )TTf t dt存在， 则f(t)可展开为如下傅氏级数： 011( )(cossin)2nnnf taan t bn t （F-1） 式中系数na 和nb 由下式给出： /2/22( )cos;(0,1,2,...,)TnTaf tn tdt nT /2/22( )sin;(0,1,2,...,)TnTbf tn tdt nT 式中2/T称为角频率 周期函数f(t)的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）： ( )jn tnnf ta e  （F-2） 式中系数 /2/21( )Tjn tnTaf t edtT 其中欧拉公式cossinj tetjt 如果周期函数f(t)具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为0，系数公式可以简化，下表列出了具有几种对称性质的周期函数f(t)的傅氏级数简化结果： 对称性 特点 na nb 1( )f t 偶函数11( )()f tft 只有余弦项 /2104( )cosTf tn tdtT 0 2( )f t 奇函数22( )()f tft  只有正弦项 0 /2204( )sinTf tn tdtT 3( )f t 只有偶次谐波33(/ 2)( )f t Tf t 只有偶数n /2304( )cosTf tn tdtT /2304( )sinTf tn tdtT 4( )f t 只有奇次谐波44(/ 2)( )f t Tf t  只有奇数n /2404( )cosTf tn tdtT /2404( )sinTf tn tdtT 2 . 傅里叶积分和傅里叶变换 任一周期函数只要满足狄里克雷条件，便可以展开为傅氏级数，对于非周期函数，因为其周期T 为趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分。 若 f(t)为非周期函数，则可视它为周期T 为趋于无穷大，角频率02/T趋于0的周期函数，这时，在傅氏级数展开式中，各个相邻的谐波频率之差00(1)nn便很小，谐波频率0n 须用一个变量 代替【注意，此处 不同于（F-1）所述的角频率】。这样，式（F-2）便可改写为： ( )j tnf te   （F-3） /2/2( )2Tj tTf t edt 于是便得： /2/2/2/21( )[( )][( )]22TTj tj tj tj tnnTTf tf t...