华东师范大学2000年数学分析考研试题

华东师大2000 年数学分析试题 一、（24 分）计算题： （1） 求011lim()ln(1)xxx； （2） 求32cossin1cosxxdxx （3） 设( , )zz x y是由方程222(,)0F xyz xyz 所确定的可微隐函数，试求 grad z。 二、（14 分）证明： （1）11(1)nn为递减数列： （2） 111ln(1),1,21nnnn 三、（12 分）设 f(x)在,a b 中任意两点之间都具有介质性，而且 f 在（a，b）内可导， '( )fxK （K 为正常数），( , )xa b 证明：f 在点 a 右连续，在点 b 左连续。 四、（14 分）设120(1)nnIxdx，证明： 12,2, 3,212 ,1, 2,3nnInnnnnn(1)I(2)I( )f x  五、（12 分）设 S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段 ( ),,,0yf x xa bz (()0 )f x  绕 x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出 S 的面积公式为：22( ) 1'( )baAf xfxdx 六、（24 分）级数问题： （1） 设sin ,01,0( )x xxxf x ( ) xa,b( )( )11( )( )nnnfxfxf xfxf x,求( )(0),1,2,kfk  （2） 设1nna收敛，lim0nxna ，证明：111()nnnnnn aaa。 （3） 设( )nfx 为a,b 上的连续函数序列，且( )( )nfxf x，xa,b，证明：若( )f x 在a,b 上无零点，则当 n 充分大时，( )nfx 在a,b 上也无零点；并有11( )( )nfxf x，xa,b。 华东师范大学2000 年数学分析解答 博士家园http://www.bossh.net tangshan0315 一、 ⑴2111)1ln(1lim)1ln()1(lim1)1ln(111lim)1ln()1ln(lim0000xxxxxxxxxxxxxxxxx ⑵)(coscos1)cos1(coscos1sincos2223xdxxxdxxxx =dtttttdtttt222212)1(1)1( =Cttdtttt)1ln(212222 =Cxx)cos1ln(cos2122 ⑶},{222221212121yxyyzxxzzgradzzFxyFyFzxFFFzzFxyFxFyzFFFz 二、 ⑴欲证nnnn 2111111，即 1211121 nnnnn 因此，令1,112121nnxnxxx。由 22122211112nnnxxxnxxx ， 即...