单元构造与分析

1 第五章 单元构造与分析 本章将集中探讨如何进行单元分析，主要阐述建立单元形函数的一般方法，介绍各种类型的单元族以及他们的精度比较。 § 5 .1 建立单元形函数的方法 单元形函数，即单元位移模式决定了有限元解的精度。它与解答精度的关系。 用 h表示单元的特征尺寸，用 p表示形函数中多项式的次数，则有限元解的误差阶数近似为)(1phO。显然，增加单元形函数的阶次会使误差的阶次增加，解答会更迅速地收敛于精确解。对于给定的自由度，应当寻求具有最高阶次的多项式。根据收敛准则的要求，形函数中至少应包括多项式的常数项和一次项。 图 5.1 矩形单元 建立形函数的第一种方法是直接写出坐标的多项式形式。 yxaxaxyayaxaa26254321 (5.1.1a) 或 Pa (5.1.1b) 其中yxxxyyx221P。Taaa621...a为待定常数。这个试探函数满足收敛性要求，即为含有常数项、线性项的连续函数。 上式中含有 6个待定参数621,,aaa，由 6个节点的节点物理量可以提供 6个线性方程 611626266666222222222121211111621...1..................11...aaayxxyxyxyxxyxyxyxxyxyx (5.1.2a) 5 6 4 1 2 3 y x 2 或者简写为 Caφ  (5.1.2b) 其中T621φ，上式的解为 φCa1 (5.1.3) 于是插值函数为 NφφPCPa1 (5.1.4) 其中1 PCN。从原理上说，上述方法不需要很大的技巧，但其缺点是有时1C不存在。 另一种方法是利用各种对坐标的插值公式，直接写出形函数的形式，例如Lagrange插值法和Hermiter 插值法等。 §5.2 矩形单元 Lagrange 族和Serendipity 族 本节以矩形单元为例，说明构造单元的两类重要方法：Lagrange 插值法和Serendipity法，相应的单元分别称为Lagrange 单元和Serendipity 单元。 1. Lagrange 插值法 简单地把两个坐标的适当多项式相乘，是形成任意矩形单元形函数的一种比较容易而系统化的方法。 图 5.2 矩形单元的Lagrange 插值 1   3 图5.3 矩形Lagrange 单元 图5.3 所示的是矩形Lagrange 单元中前2 阶的单元，建立坐标系使每个角节点的坐标为1，单元的边长为2。对于线性单元，只有四个角节点，每个边上有两个节点。其形函数为 00 1141iN （i=1，2，3，4） (5.2.1) 其中 i ...