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双曲线的简单几何性质

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精心整理 双曲线的简单几何性质 【知识点 1】双曲线22ax-22by=1 的简单几何性质 (1)范围:|x|≥a,y∈R. (2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x 轴、y 轴及原点中心对称. (3)顶点:两个顶点:A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴长为 2a,虚轴长为2b,且 c2=a2+b2. (4)渐近线:双曲线特有的性质,方程 y=± abx,或令双曲线标准方程22ax-22by=1 中的1 为零即得渐近线方程. (5)离心率 e= ac>1,随着 e 的增大,双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为 y=±x,离心率 e=2 . (7)共轭双曲线:方程22ax-22by=1 与22ax-22by=-1 表示的双曲线共轭,有共同的渐近线和相等的焦距,但需注意方程的表达形式. 注意:(1)与双曲线22ax-22by=1 共渐近线的双曲线系方程可表示为22ax-22by=λ(λ≠0且 λ 为待定常数) (2)与椭圆22ax+22by=1(a>b>0)共焦点的曲线系方程可表示为22ax-22by=1(λ<a2,其中 b2-λ>0 时为椭圆,b2<λ<a2时为双曲线) 精心整理 (3)双曲线的第二定义:平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x=ca 2的距离之比等于常数e=ac(c>a>0)的点的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,焦准距(焦参数)p=cb2,与椭圆相同. 1、写出双曲线方程 12 54 922 yx的实轴长、虚轴的长,顶点坐标,离心率和渐近线方程 2、已知双曲线的渐近线方程为xy43,求双曲线的离心率 3、求以032 yx为渐近线,且过点p(1,2)的双曲线标准方程 4、已知双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 1 6 ,离心率为 43 ,求双曲线的标准方程。 5、求与双曲线2211 69xy 共渐近线,且经过 23 , 3A点的双曲线的标准方及离心率. 精心整理 【知识点2】弦长与中点弦问题 (1).直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题:一般地,若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B 两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长]4))[(1(1212212122xxxxkxxkAB ]4)[()11(11212212122yyyykyyk,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想. (2).中点弦问题:处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆 12222 byax(a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是 AB的中点,则KABKOM=22ab;对于双曲线 ...

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