各种等腰三角形难题

各类等腰三角形难题 例1 . 在⊿ABC 中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB 上 一点,AD=BC,连接CD. 试求:∠BDC 的度数. 分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造 全等三角形. 解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E 在AC 两侧)连接DE,CE. AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B. ∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°. ∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又 AE=AB=AC. ∴⊿AEC 为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°. 例2.已知,如图:⊿ABC 中,AB=AC,∠BAC=20°. 点D 和 E 分别在AB,AC 上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°. 试求∠DEB 的度数. 本题貌似简单,其实不然. 解:过点E 作BC 的平行线,交AB 于F,连接CF 交BE 于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC 均为等边三角形. ∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°; ∠BCG=50°;∠CBD=60°. ∴∠BDC=50°=∠BCD,则 BD=BC=BG;又∠ABE=20°. 故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°. 即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又 EG=EF;DE=DE. ∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°. 所以,∠DEB=30°. 例 3.已知,等腰⊿ABC 中,AB=AC,∠BAC=20°,D 和 E 分别为 AB 和 AC 上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°. 试求:∠DEB 的度数. 本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答. 解:在CA 上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°. 作 DG∥BC,交 AC 于 G,连接BG,交 CD 于 F,连接FM. 易知⊿BCF 和⊿DGF 为等边三角形,CM=CB=CF. ∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°. ∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°. 即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM. 则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°. 故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°. ∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°. ∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°. 又∠BEC=∠ABE+∠A=30°. 所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°. 例 4.如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CE＝CD，DM⊥BC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。 思路点拨：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM ⊥BC，所以想到连结 BD，证 BD＝ED。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE＝ ∠ABC，而由 CE＝CD，又可证∠E＝ ∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠...