同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)2..

习题 91 1 设有一平面薄板(不计其厚度) 占有 xOy 面上的闭区域 D 薄板上分布有密度为 (x y)的电荷 且(x y)在 D 上连续 试用二重积分表达该板上全部电荷 Q 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度(x y)在该板所占闭区域 D 上的二重积分 DdyxQ),( 2 设13221)(DdyxI  其中 D1{(x y)|1x1 2y2}  又23222)(DdyxI  其中 D2{(x y)|0x1 0y2}  试利用二重积分的几何意义说明 I1 与 I2 的关系 解 I1表示由曲面 z(x2y2)3与平面 x1 y2 以及 z0 围成的立体 V 的体积 I2表示由曲面 z(x2y2)3与平面 x0 x1 y0 y2 以及 z0 围成的立体 V1 的体积 显然立体 V 关于 yOz 面、xOz 面对称 因此 V 1 是 V 位于第一卦限中的部分 故 V4V1 即 I14I2 3 利用二重积分的定义证明 (1)Dd (其中为 D 的面积) 证明 由二重积分的定义可知 Dniiiifdyxf10),(lim),( 其中i 表示第 i 个小闭区域的面积 此处 f(x y)1 因而 f( )1 所以 010limlimDniid (2)DDdyxfkdyxkf),(),( (其中 k 为常数) 证明 niiiiDniiiifkkfdyxkf1010),(lim),(lim),( Dniiiidyxfkfk),(),(lim10 (3)21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf 其中 DD1 D2 D1、D2 为两个无公共内点的闭区域 证明 将 D1 和 D2 分别任意分为 n1 和 n2 个小闭区域1i和2i n1n2n 作和 2222211111111),(),(),(niiiiniiiiniiiifff 令各1i和2i的直径中最大值分别为1 和2 又m ax(12) 则有 niiiif10),(lim2222221111111010),(lim),(limniiiiniiiiff 即 21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf 4 根据二重积分的性质 比较下列积分大小 (1)Ddyx2)(与Ddyx3)( 其中积分区域 D 是由 x 轴 y 轴与直线 xy1 所围成 ...