数学竞赛辅导讲座：高斯函数 知识、方法、技能VIP免费

数学竞赛辅导讲座：高斯函数知识、方法、技能函数，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为（2）对任意实数，都有.（3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I－4－5－1；是以1为周期的周期函数，如图I－4－5－2.图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2（5）.其中.（6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.（8），其中.【证明】（1）—（7）略.（8）令，则，因此，.由于，，则由（3）知，于是，证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一：，且1至x之间的整数中，有个是的倍数.【证明】因，此式说明：不大于x而是n的倍数的正整数只有这个：定理二：在！中，质数的最高方次数是【证明】由于是质数，因此含的方次数一定是1，2，…，各数中所含的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n中有个的倍数，有个2的倍数，…，所以此定理说明：，其中M不含的因数.例如，由于+…=285+40+5=330，则2000！=7330·M，其中7M.定理三：（厄米特恒等式）【证法1】引入辅助函数因…对一切成立，所以是一个以为周期的周期函数，而当时，直接计算知，故任意，厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于消去后得到与原等式一样的等式，只不过是对，则一定存在一个使得，即，故原式右端另一方面，由知，在这批不等式的右端总有一个等于1，设.这时，，而，因此原式的左端是个1之和，即左端故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为的问题；第二步对分段讨论.高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用.下面给出一个定理.定理四：设函数上连续而且非负，那么和式内的整数）表示平面区域内的格点个数.特别地，有（1）位于三角形：内的格点个数等于为整数）；（2），矩形域内的格点数等于（3），圆域内的格点个数等于.（4），区域：内的格点个数等于.这些结论通过画图即可得到.例1：求证：其中k为某一自然数.（1985年第17届加拿大数学竞赛试题）[证明]2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t，使由于n!.这与已知矛盾，故必要性得证.例2：对任意的（第10届IMO试题）【解】因对一切k=0,1,…成立，因此，又因为n为固定数，当k适当大时,例3：计算和式（1986年东北三省数学竞赛试题）【解】显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502,都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+故例4：设M为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？（1982年瑞典数学竞赛试题）【解】显然x=M是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.例5：求方程（第36届美国数学竞赛题）【解】经检验知，这四个值都是原方程的解.例6：（第10届美国数学竞赛试题）这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】由于例7：对自然数n及一切自然数x，求证：【证明】例8：求出的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题）【解】先找出的整数部分与分数部分.=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.