三角形四心与向量VIP专享

ACB1e2eP精品文档---下载后可任意编辑三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是的重心;若 O 是的重心，则故;为的重心.2．O 是的垂心;若 O 是(非直角三角形)的垂心，则故3．O 是的外心(或)若 O 是的外心则故4．O 是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。假如记的单位向量为，则刚才 O 是内心的充要条件可以写成 ，O 是内心的充要条件也可以是 。若 O 是的内心，则故 ;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；范 例(一)将平面对量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足⃗OP=⃗OA+λ( ⃗AB|⃗AB|+⃗AC|⃗AC|)，λ∈[0,+∞)则 P 点的轨迹一定通过Δ ABC的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为⃗AB|⃗AB|是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为e1e和 2， 又⃗OP−⃗OA=⃗AP，则原式可化为⃗AP=λ(e1+e2)，由菱形的基本性质知 AP 平分∠BAC，那么在Δ ABC中，AP 平分∠BAC，则知选 B.(二)将平面对量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点，⃗HA⋅⃗HB=⃗HB⋅⃗HC=⃗HC⋅⃗HA 点 H 是△ABC 的垂心.由⃗HA⋅⃗HB=⃗HB⋅⃗HC ⇔⃗HB⋅(⃗HC−⃗HA)=0⇔⃗HB⋅⃗AC=0⇔⃗HB⊥⃗AC ,同理⃗HC⊥⃗AB ，⃗HA⊥⃗BC .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⃗PA⋅⃗PB=⃗PB⋅⃗PC=⃗PC⋅⃗PA ，则 P 是△ABC 的（D ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由⃗PA⋅⃗PB=⃗PB⋅⃗PC得⃗PA⋅⃗PB−⃗PB⋅⃗PC=0 .即⃗PB⋅(⃗PA−⃗PC)=0,即⃗PB⋅⃗CA=0则PB⊥CA,同理 PA⊥BC, PC⊥ AB 所以 P 为Δ ABC 的垂心. 故选 D.(三)将平面对量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4． G 是△ABC 所在平面内一点，⃗GA+⃗GB+⃗GC =0 点 G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中⃗GB+⃗GC=⃗GE连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线.将⃗GB+⃗GC=⃗GE 代入⃗GA+⃗GB+⃗GC =0，得⃗GA+⃗EG=0⃗GA=−⃗GE=−2⃗GD ，故 G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例 5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⃗PG=13 (⃗PA+⃗PB+⃗PC).证明⃗PG=⃗PA+⃗AG=⃗PB+⃗BG=⃗PC+⃗CG3⃗PG=(⃗AG+⃗BG+⃗CG)+(⃗PA+⃗PB...