不等式知识结构及知识点

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2025-02-13 发布于天津市
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精品文档---下载后可任意编辑一．知识结构二．知识点1 、不等式的基本性质 ①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）a>b , c>d ⇒ a+c>b+d （异向可减性）a>b ,cb−d④（可积性）a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒acb>0⇒ 1a < 1b ;a 1b2 、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式：②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.④（当且仅当时取到等号）.⑤（当且仅当时取到等号）.⑥（当仅当 a=b 时取等号）（当仅当 a=b 时取等号）⑦ba < b+ma+m <1< a+nb+n< ab 其中规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小 . ⑧⑨ 绝对值三角不等式3 、几个著名不等式 ①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：② 幂平均不等式：③ 二维形式的三角不等式： ④ 二维形式的柯西不等式当且仅当时，等号成立.⑤ 三维形式的柯西不等式：⑥ 一般形式的柯西不等式：⑦ 向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧ 排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和.精品文档---下载后可任意编辑⑨ 琴生不等式 : （特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：推断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 . 6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式...

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