精品文档---下载后可任意编辑现代化的教育教学理念，要求学生能“综合与灵活的应用所学数学知识、思想方法，进行独立的思考、探究和讨论问题，提出解决问题的思路，制造性地把问题解决好”；因此我们学习每一部分知识时，要善于回味、归纳、总结规律，从而提炼出精华的数学思想方法，将知识转化为能力，使所学知识得以升华．笔者仅就二项式定理中数学思想方法的感悟，写给读者，希望能够起抛砖引玉的作用．归纳如下： 一、函数与方程思想例 1 已知，若，求．解析：，．令，则，，，．点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作 x 的函数，其系数问题与函数值的展开式相联系． 二、转化与化归思想 例 2 设 a，b 是两个整数，若存在整数 d，使得，称“整除”，记作．给出命题：①；②；③，其中正确命题的题号是． 解析：对于①，必为偶数，为奇数，即不正确． 对于②，，②正确． 对于③，，③ 正确，故填②③．点评：利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，转化成便于操作的二项式的结构，这是解决问题的关键，然后再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了． 例 3 （上海高考题改编）求和：．分析：这是一个与组合数有关的式子求和问题，通常进行合理变形，利用组合数的性质，转化为二项式的结构，再逆用二项式定理，将式子的值求出．解：原式．点评：本例体现了分组求和，创设二项式定理的结构形式，逆用、活用二项式定理的思想；其中第二组的和可以推广为：若数列是首项为，公比为 q 的等比数列，则：．． 例 4 求证：． 证明：．点评：本题是一个与自然数有关的不等式问题，当然可以考虑用数学归纳法证明，但是与的展开式进行对比，只要令，所证不等式的左边就化为二项式展开式的结构，再进行合理的取舍，问题获证，这不失为一个快捷方法． 三、整体思想 例 5 在的展开式中，哪一项的二项式系数最大？哪一项的系数最大？ 解析：解决这类问题应注意二项式系数与项的系数的区别，令分别为展开式的第 r 项和第项的系数，仿照讨论二项式系数的变化规律的方法，我们来讨论本展开式各项系数的变化规律．，，．当时，，即，当时，，即，的变化规律是先单调递增，后单调递减．注意到时，，故展开式的第三、四项的系数最大．点评：二项式的通项公式是求某些特定项或二项式系数最大的项的有利工...
