八年级轴对称与对称轴提高压轴题

1．问题背景：如图（a），点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l的对称点 B′，连接 A B′与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为 _________ ．（2）知识拓展：如图（c），在 Rt ABC△中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现 如图（1）：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下： 作点 B 关于直线 m 的对称点 B′，连接 AB′，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB′的长度即为 AP+BP 的最小值． 如图（2）：在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 _________ ． （2）实践运用 如图（3）：已知⊙O 的直径 CD 为 2，的度数为 60°，点 B 是的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 _________ ． （3）拓展延伸如图（4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪慧的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这样的：① 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′．② 连接 AB′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在 BC 边上确定一点 P，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点 P（保留作图...