abDOABCabEDOABCabGOABC精品文档---下载后可任意编辑基本不等式链：若a、b都是正数，则21a+ 1b≤√ab≤ a+b2 ≤√a2+b22，当且仅当a=b 时等号成立。 注：算术平均数---a+b2；几何平均数---√ab ；调和平均数---21a+ 1b=2aba+b；平方平均数---√a2+b22。证明 1：（代数法） （1）； （2）⇒21a + 1b≤√ab； （3）a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥2ab+a2+b2⇒ a2+b22≥(a+b)24⇒√a2+b22≥a+b2； 综上，21a+ 1b≤√ab≤ a+b2 ≤√a2+b22，当且仅当a=b 时成立。证明 2：（几何法）如图，，以为直径作圆，则图 1：，√ab≤a+b2；图 2：，2aba+b ≤√ab；图 3：，a+b2 ≤√a2+b22；综上，21a+ 1b≤√ab≤ a+b2 ≤√a2+b22，当且仅当a=b 时成立。证明 3：（几何法）作梯形，使，令，分别是的中点，过作于，过作于，在上截取，则分别是的中点，，平分，，即，， 显然，，∴2aba+b ≤√ab≤a+b2 ≤√a2+b22 当“”时，2aba+b =√ab=a+b2 =√a2+b22。证明 4：（几何法）作梯形，使，令，在上截取，则过作交于，过作于，过作于，在上分别取点，使梯形与梯形相似，则，，，，梯形与梯形相似 显然，，∴2aba+b ≤√ab≤a+b2 ≤√a2+b22 当“”时，2aba+b =√ab=a+b2 =√a2+b22。
