数列压轴题专题

精品文档---下载后可任意编辑题型一：递推问题1、已知数列{an}中,a1>0,且 an+1=.(1)试求 a1的值,使得数列{an}是一个常数数列；(2)试求 a1的取值范围,使得 an+1>an对任何自然数 n 都成立；（3）若 a1=4,设 bn=|an+1-an|(n=1,2,3…),并以 Sn表示数列{bn}的前 n 项的和,试证明：Sn<.解：（Ⅰ）欲使数列{an}是一个常数数列,则 an+1==an,又依 a1>0,可以推得 an>0 并解出：an=.即 a1=a2=（Ⅱ）讨论 an+1-an==(n≥2)注意到：>0 因此,an+1-an,an-an-1,…,a2-a1an+1>an对任意自然数都成立,只须 a2-a1>0-a1>0,解得：0时,an+1,故 Sn<4-.题型二：最值问题2、已知数列{ an}满足：a1=1,an+1=(nN) ( n∈ N ),数列{ bn}的前 n 项和 Sn=12-12()n(nN). (1) 求数列{ an}和{bn}的通项公式；(2) 设 cn=,是否存在m∈N ,使 cm≥9 成立？并说明理由.解答：（1）由an+1=an2an+1 ⇒ 1an+1= 1an+2,∴1an=1+2 (n−1)=2n−1,an=12 n−1 ( n∈ N ).由Sn=12−12 (23 )n及Sn−1=12−12 (23 )n−1(n≥2),可得bn=Sn−Sn−1=4 (23 )n−1(n≥2), 令n=1,则b1=S1=12−12⋅23 =4也满足上式,∴bn=4 (23 )n−1( n∈ N ).（2）Cn=bnan=(2n−1)⋅4 ( 23 )n−1=4 (2n−1) ( 23 )n−1,设为数列{ Cn}中的最大项,则{C m≥C m−1 ¿ ¿ ¿ ¿,∴m=3 .即为{ Cn}中的最大项. C3=20 ( 23 )2=809 <9,∴不存在m∈N ,使Cm≥9成立.题型三：公共项问题3、设 An为数列{an}的前 n 项的和，An＝(an－1)，数列{bn}的通项公式为 bn＝4n＋3。（1）求数列{an}的通项公式；（2）把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1;（3）设数列{dn}的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项，Br为数列{bn}的前 r 项的和，Dn为数列{dn}的前 n 项和，Tn＝Br－Dn，求limn→∞ 。解（1）由 An＝ (an－1)，可知 An＋1＝ (an＋1－1)∴An＋1－An＝ (an＋1－an)＝an＋1，即 ＝3而 a1＝A1＝ (a1－1)，得 a1＝3所以数列{an}是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列，数列{an}的通项公式为 an＝3n。（2） 32n＋1＝3·32n＝3·(4－1)2n ＝3×（42n＋C12n·42n...