数列方法总结

精品文档---下载后可任意编辑一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例 1．等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为，且a1,a3,a9成等比数列，S5=a52．求数列{an}的通项公式.解：设数列{an}公差为d(d>0) a1,a3,a9成等比数列，∴a32=a1a9，即(a1+2d)2=a1(a1+8d)⇒ d2=a1d d≠0，∴a1=d ………………………………① S5=a52∴5a1+ 5×42 ⋅d=(a1+4d )2…………②由①②得：a1=35 ，d=35∴an=35 +(n−1)×35=35 n点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列{an}的通项可用公式an=¿{S1⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿n=1¿¿¿¿求解。例 2．已知数列{an}的前项和满足Sn=2an+(−1)n,n≥1．求数列{an}的通项公式。解：由a1=S1=2a1−1⇒a1=1当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122 ( 1),nnnaa  ,)1(22221nnnaa……，.2212 aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa    ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211nnnnnnnnn经验证a1=1 也满足上式，所以an=23 [ 2n−2+(−1)n−1 ]点评：利用公式an=¿{Sn⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿n=1¿¿¿¿求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特别的转化方法与特别数列。类型 1 递推公式为an+1=an+f (n)解法：把原递推公式转化为an+1−an=f ( n)，利用累加法(逐差相加法)求解。(2024 全国卷 I.22)已知数列{an}中,,其中……，求数列{an}的通项公式。P24（styyj）例 3. 已知数列{an}满足a1=12 ，an+1=an+1n2+n ，求。解：由条件知：an+1−an=1n2+n=1n(n+1)=1n− 1n+1分别令n=1,2,3,⋅¿⋅¿⋅¿,(n−1)，代入上式得(n−1)个等式累加之，即(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+¿⋅¿⋅¿⋅+( an−an−1)=(1−12 )+( 12−13 )+( 13− 14 )+¿⋅¿⋅¿⋅+( 1n−1−1n )所以an−a1=1−1n a1=12 ，∴an=12+1−1n=32−1n类型 2 （1）递推公式为an+1=f (n)an解法：把原递推公式转化为an+1an=f (n)，利用累乘...