数列极限的种典型种方法docVIP专享

精品文档---下载后可任意编辑在数学分析的学习过程中,极限的思想和方法起着基础性的作用，极限的基本思想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，而数列极限又是极限的基础.涉及到数列极限的问题有很多，包括数列极限的求法、给定数列极限存在性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型，数列极限反应的是数列变化的趋势，其证明和求解也是数学分析题中的重点，主要原因是其证法与求法没有固定的程序可循，方法多样，技巧性强，涉及知识面较广，因此在数学刊物上常可看到这类文章，但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解，很少系统地探究数列极限证法和求法的基本技巧和方法. 随着社会的快速进展及数学本身的进展,迫切地需要对这些方法进行归纳. 当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献[1]-[10],但是方法的应用举例较少,不全面. 在高等数学竞赛及讨论生入学考试中,数列极限求解方法是常常出现的一种题型. 这些都说明:数列极限求解方法是一个重要的讨论课题. 本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同时举例进行说明. 本文归纳了 17 种方法.：设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正数 N，使得当时，有，则称数列收敛于.记作：.否则称为发散数列.例 1.求证其中. 证：当时，结论显然成立. 当时，记，则，由 得，任给，则当时，就有，即即 当 综上，例 2.求 解：<用定义求数列极限有几种模式：（1），作差，解方程，解出，则取或（2）将适当放大，解出；（3）作适当变形，找出所需 N 的要求。柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：正整数，使得当时，有.例 3.证明：数列为收敛数列. 证，取，当时，有由柯西收敛准则，数列收敛.例 4.（有界变差数列收敛定理）若数列满足条件，则称为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛证：令那么单调递增，由已知知有界，故收敛，从而正整数，使得当时，有 此即N 定义 nanNnaa nalimnnaa  na1lim1,nna 0a 1a 1a 11na 0 1111(1)nnann  111naan0 1anN11na11na1lim1,nna 1111101,1,lim1,lim1limnnnnnnabbbaab    时，令则由上易知1lim1,nna 0a 7lim!nnn 7777 77 7 7777 77 1!1 27 8 917!6!nnnnnn77777...