数论之余数三大定理

精品文档---下载后可任意编辑概念一般地，假如 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2)当时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商三大余数定理1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。3.同余定理若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除用式子表示为：假如有 a≡b ( mod m )，那么一定有 a－b＝mk,k 是整数，即 m|(a－b)例题1. 用某自然数去除，得到商是 46，余数是，求和。2. 甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数。3. 一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。4. 有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？5.用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这 2 个自然数各是多少？6. （真题）三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除以 19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。7. 一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是_________。8. 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人。假如把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够。假如把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本，书不够。问：第二组有多少人?9. 一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数。10. 有一个大于 1 的整数，除所得的余数相同，求这个数.11. 有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数.12. 在小于 1000 的自然数中，分别除以...