曲线积分曲面积分与场论

精品文档---下载后可任意编辑第十四章 曲线积分、曲面积分与场论教学目的与要求 1 掌握两类曲线积分和两类曲面积分的定义及相互联系；2 掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算；3 掌握 Green 公式 公式和公式，并能应用它们来求第二类线面积分；4 理解曲线积分与路径无关的含义；5 了解外微分的定义及应用；6 了解场论初步的基本知识。教学重点1 两类曲线积分和两类曲面积分的计算；2 Green 公式 公式和公式的应用；3 曲线积分与路径无关的条件。教学难点 1 两类曲线积分互化和两类曲面积分互化；2 曲线积分与路径无关的条件。§1 第一型曲线积分和第一类面面积分教学目的 1 掌握第一类曲线积分和第一类曲面积分的定义；2 会求曲面的面积。教学过程背景:几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段、平面区域、空间几何体的质量1 第一类曲线积分 1.1 定义(P294----295)1.2 性质(P295)1.3 计算(P295----296) 例 1 设是半圆周, . . 例 2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分 . 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有.例 3 计算积分, 其中是球面被平面截得的圆周 . 解 由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 )2 曲面的面积 P298----3043 第一型曲面积分 3.1 定义(P304----305)3.2 计算1 设有光滑曲面 .为上的连续函数,则 . 例 4 计算积分, 其中是球面 被平面 所截的顶部 . 例 5 求，其中是球面与平面的交线。解法 1 解法 2 求曲线的参数方程。由，消去，得, 即 令，则于是得到两组参数方程我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性，则GaussStokesGaussStokestaytaxsin , cost0Ldsyx)(22xy42 ) 0 , 0 (O) 2 , 1 (AL yds)( , )( , )( :tztytxL],[t)( , )( , )(ttt),,(zyxfLdtttttttfdszyxf)()()()( , )( , )(),,(222Ldsx 22222azyx0zyxLdsx 2Ldsy 2Ldsz 2Ldsx 2LLadsadszyx32222323)(31TheoremDyxyxzzS),( , ),( :),,(zyxfSDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,,),,(S zdS2222azyxhz )0(ah Ldszxyzxy)(2222azyx0zyxLdszxyzxy)(Ldszxyzxy)(221Ldszyxzy...