精品文档---下载后可任意编辑山东省临沭县实验中学 李锦旭（276700）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深化剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例 1 设Sn=√1⋅2+√2⋅3+⋯+√n( n+1)
求证n(n+1)2a>0,m>0)可得21⋅43⋅65 ⋯ 2n2n−1>¿ ¿32⋅54⋅76⋯2n+12n = 12⋅34⋅56 ⋯2n−12n ⋅(2n+1)( 21⋅43⋅65 ⋯2n2n−1 )2>2n+1即(1+1)(1+ 13 )(1+15 )⋯(1+12n−1 )>√2n+1
法 2 利用贝努利不等式(1+x)n>1+nx(n∈N¿ ,n≥2,x>−1, x≠0)的一个特例(1+12k−1 )2>1+2⋅12k−1 (此处n=2,x=12k−1 )得1+12k−1 >√2k+12k−1 ⇒∏ ¿k=1n(1+12k−1 )= ¿∏ ¿k=1n√2k+12k−1=√2n+1
¿ 注：例 4 是 1985 年上海
