精品文档---下载后可任意编辑山东省临沭县实验中学 李锦旭（276700）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深化剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例 1 设Sn=√1⋅2+√2⋅3+⋯+√n( n+1).求证n(n+1)2 (n+1)22，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里n1a1+⋯+ 1an≤n√a1⋯an≤a1+⋯+ann≤√a12+⋯+an2n 其中，n=2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。例 2 已知函数f ( x)=11+a⋅2bx ，若f (1)=45 ，且f ( x)在[0，1]上的最小值为12 ，求证：f (1)+f (2)+⋯+f (n)>n+ 12n+1 −12 .（02 年全国联赛山东预赛题）简析 f ( x)= 4x1+4x =1−11+4x >1− 12⋅2x ( x≠0)⇒f (1)+⋯+f (n)>(1− 12×2 )+(1−12×22 )+⋯+(1−12×2n )=n−14 (1+12 +⋯+12n−1 )=n+ 12n+1−12 .例 3 求证Cn1+Cn2+Cn3+⋯+Cnn>n⋅2n−12 ( n>1,n∈ N ).简析 不等式左边Cn1+Cn2+Cn3+⋯+Cnn= 2n−1=1+2+22+⋯+2n−1¿n⋅n√1⋅2⋅22⋅⋯⋅2n−1=n⋅2n−12 ，故原结论成立.2．利用有用结论例 4 求证(1+1)(1+ 13 )(1+15 )⋯(1+12n−1 )>√2n+1.简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法 1 利用假分数的一个性质ba > b+ma+m (b>a>0,m>0)可得21⋅43⋅65 ⋯ 2n2n−1>¿ ¿32⋅54⋅76⋯2n+12n = 12⋅34⋅56 ⋯2n−12n ⋅(2n+1)( 21⋅43⋅65 ⋯2n2n−1 )2>2n+1即(1+1)(1+ 13 )(1+15 )⋯(1+12n−1 )>√2n+1.法 2 利用贝努利不等式(1+x)n>1+nx(n∈N¿ ,n≥2,x>−1, x≠0)的一个特例(1+12k−1 )2>1+2⋅12k−1 (此处n=2,x=12k−1 )得1+12k−1 >√2k+12k−1 ⇒∏ ¿k=1n(1+12k−1 )= ¿∏ ¿k=1n√2k+12k−1=√2n+1. ¿ 注：例 4 是 1985 年上海...
