柱坐标系含内热源一维非稳态热传导问题e

精品文档---下载后可任意编辑111Equation Chapter 1 Section 12.11 解：对于该一维有热源的非定常热传导问题,设导热系数为常数有初始条件边界条件为即其中为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity），过余温度，则令，并使其中满足原方程及边界条件不妨设，显然其满足原方程，现用边界条件待定其中系数故代入原方程及边界条件中有精品文档---下载后可任意编辑代入初始条件中有即其中现用分离变量法进行求解令带入 Error: Reference source not found 中泛定方程中有即由边界条件知由初始条件有现对的值进行讨论 ①当时，将其带入式 Error: Reference source not found 中有Error: Reference source not found代入边界条件中有显然不符合题意舍去 ②当时，对于式 Error: Reference source not found 令有注意到当时即最终的温度，这在实际情况下是不可能的，故该种情况应当舍去。 ③当时，对于式 Error: Reference source not found 令有其中第二式为零阶贝塞尔方程带入边界条件得显然满足方程根有无穷多个。用下面符号表示其无穷多个正根精品文档---下载后可任意编辑则代入初始条件有将展开为广义傅里叶级数其中此处过于复杂，但该积分可积，这里就不带入里面进行进一步运算了，如有兴趣可继续计算。现给出进行下一步积分的参考公式，对比系数得其中故综上所述：最终结果为其中为满足方程的无穷多个正根并按从小到大排列。解：以板中心为原点，x 轴垂直于板，建立坐标系，则该问题可简化为一维问题取该板上长为微段为控制体，由能量守恒有精品文档---下载后可任意编辑即其中，为过余温度考虑到边界条件和初始条件有即令，并使其中满足原方程及边界条件不妨设，显然其满足原方程，现用边界条件待定其中系数故代入原方程及边界条件中有其中为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity）代入初始条件中有即其中现用分离变量法进行求解设，代入上面的方程可得由边界条件知现对的值进行讨论 ①当时X( x )=Ax+B带入边界条件得精品文档---下载后可任意编辑A=B=0显然不符合题意，舍去 ②当时X(x )=Ae√−λ x+Be−√−λx带入边界条件得A=B=0也符合题意，舍去 ③当时X(x )=Acos√λ x+Bsin √λ x带入边界条件得显然满足方程根有无穷多个。用下面符号表示其无穷多个正根及相应的特征函数再由方程， 可得，从而我们得到满足边界条件的一组解所以下面由初始条件求待定系数由初始条件有由广义傅里叶级数，对ϕ( x)进行傅里叶级数展开有其中精品文档---下载后可任意编辑对比系数得故综上所述：最终结果为其中为满足方程的无穷多个正根并按从小到大排列。