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椭圆标准方程典型例题

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精品文档---下载后可任意编辑例 1 已知椭圆mx2+3 y2−6m=0的一个焦点为(0,2)求的值.分析:把椭圆的方程化为标准方程,由c=2 ,根据关系a2=b2+c2 可求出的值.解:方程变形为x26 + y22m=1.因为焦点在轴上,所以2m>6 ,解得m>3 .又c=2 ,所以2m−6=22,m=5 适合.故m=5 .例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P (3,0),a=3b ,求椭圆的标准方程.分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在轴上时,设其方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ).由椭圆过点P (3,0),知9a2 + 0b2 =1.又a=3b,代入得b2=1 ,a2=9,故椭圆的方程为x29 + y2=1.当焦点在轴上时,设其方程为y2a2 + x2b2=1 (a>b>0 ).由椭圆过点P (3,0),知9a2 + 0b2 =1.又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281 + x29 =1.例 3Δ ABC 的底边BC=16 ,AC 和AB 两边上中线长之和为 30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹.分析:(1)由已知可得|GC|+|GB|=20 ,再利用椭圆定义求解.(2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程.解: (1)以BC 所在的直线为轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设点坐标为(x, y ),由|GC|+|GB|=20 ,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因a=10,c=8,有b=6 ,故其方程为x2100 + y236 =1 ( y≠0).(2)设A (x, y),G (x', y'),则x¿100 + y¿36 =1( y'≠0). ①由题意有{x'=x3,¿¿¿¿代入①,得的轨迹方程为x2900 + y2324 =1 ( y≠0),其轨迹是椭圆(除去轴上两点).例 4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为4 √53和2√53,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.解:设两焦点为、,且|PF1|=4√53,|PF2|=2√53.从椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|=2√5.即a=√5.从|PF1|>|PF2|知|PF2|垂直焦点所在的对称轴,所以在Rt ΔPF2F1中,sin∠PF1 F2=|PF2||PF1|=12 ,可求出∠PF1 F2= π6 ,2c=|PF1|⋅cos π6 =2√5√3 ,从而b2=a2−c2=103 .∴所求椭圆方程为x25 + 3 y210 =1或3x210 + y25 =1.例 5 已知椭圆方程x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ),长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,∠ A1 PA2=θ,∠F1 PF2=α .求:ΔF1 PF2的面积(用、、表示).分析:求...

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