定积分典型习题

第六章 定积分 第一节 定积分的概念 思考题： 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） xx d11, （2）xxRRRd22, （3）xx dcos02, （4）xx d11. 解：若xxfxfbaxabd)(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(xfy ，直线bxax ,及 x 轴所围成平面图形的面积. 若bax,时，xxfxfabd)(,0)(则在几何上表示由曲线)(xfy ，直线bxax ,及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d1111AAxx. （2）由上图（2）所示，2πd2222RAxxRRR. （3）由上图（3）所示，0)()(dcos5353543π20AAAAAAAxx. R R O R x y 2 A ( 2 ) - 1 - 1 1 1 1 A 1 A O x y ( 1 ) O x y 1 - 1 3 A 4 A 5 A 2 π π ( 3 ) 1 1 1 1 O x y 6A6A(4) （4）由上图（4）所示，1112122d611Axx. 2. 若当 bxa，有)()(xgxf，下面两个式子是否均成立，为什么？ （1）xxgxxfbabad)(d)(, （2）xxgxxfd)(d)(. 答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数， xxfd)(与xxgd)(不能比较大小，故（2）式不成立. 3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是niian11,后者计算公式是baxxfabd)(1. 习作题： 1. 用定积分的定义计算定积分baxcd ,其中c 为一定常数. 解 ：任 取 分点bxxxxan 210,把],[ba分成n 个小 区 间],[1iixx)2,1(ni，小区间长度记为i =ix -1ix)2,1(ni,在每个小区间iixx,1上任取一点i 作乘积iixf)(的和式： niniiiiiabcxxcxf111)()()(, 记}{max1inix, 则)()(lim)(limd00abcabcxfxcniiiba. 2. 利用定积分的估值公式，估计定积分1134)524(xxxd 的值. 解：先求524)(34xxxf在1,1上的最值，由 0616)(23xxxf, 得0x或83x. 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(ffff的大小，知 11,102427maxmi...