导数公式的证明(最全版)

导 数 的 定 义 ： f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0 了） 用定 义 求导 数 公式 （1）f(x)=x^n 证法一： （n 为自然数 ） f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) 证法二： （n 为任意实数 ） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2） f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δ x)-sinx)/Δ x =lim (sinxcosΔ x+cosxsinΔ x-sinx)/Δ x =lim (sinx+cosxsinΔ x-sinx)/Δ x =lim cosxsinΔ x/Δ x =cosx （ 3） f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx （ 4） f(x)=a^x 证 法 一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （ 设 a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1) =lim a^x*m/[ln(m+1)/lna] =lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne =a^x*lna 证 法 二： f(x)=a^x lnf(x)=xlna [lnf(x)] '=[xlna] ' f' (x)/f(x)=lna f' (x)=f(x)lna f' (x)=a^xlna 若 a=e， 原 函数 f(x)=e^x 则 f'(x)=e^x*lne=e^x （ 5） f(x)=loga^x f'(x) =lim (loga^(x+Δ x)-loga^x)/Δ x =lim loga^[(x+Δ x)/x]/Δ x =lim loga^(1+Δ x/x)/Δ x =lim ln(1+Δ x/x)/(lna*Δ x) =lim x*ln(1+Δ x/x)/(x*lna*Δ x) =lim (x/Δ x)*ln(1+Δ x/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δ x/x)^(x/Δ x)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna) =1/(x*lna) 若 a=e， 原 函数 f(x)=loge^x=lnx 则 f'(x)=1/(x*lne)=1/x （ 6） f(x)=tanx f'(x) =lim (tan(x+Δ x)-tanx)/Δ x =lim (sin(x+Δ x)/cos(x+Δ x)-sinx/cosx)/Δ x =lim (sin(x+Δ x)cosx-sinxcos(x+Δ x)/(Δ xcosxcos(x+Δ x)) =lim (sinxcosΔ xcosx+sinΔ xcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔ x)/(Δ xcosxcos(x+Δ x)) =lim sinΔ x/(Δ...