导数在经济分析中的应用

补充内容 导数在经济分析中的应用 Email: yaoxinqin@gdaib.edu.cn 本节介绍导数在经济学中的应用一一边际分析和弹性分析． 一、边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率，利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称作边际分析方法． 定义：设函数)( xfy 可导，称导函数)( xfy为 y=)( xf的 边际函数． 这只不过是经济上对导数的另一种叫法，但现在仍遵循这个叫法．常用的有： （设产量为Q ） 1、如果成本为)(QCC ，则C’ =C’ (Q) 是边际成本； 2. 如果收入为)(QRR ，则R’ =R’ (Q) 是边际收入； 3、如果利润为)(QLL ，则L’ =L’ (Q) 是边际利润。 等等。 由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即 )()()(QCQRQL 由导数的运算法则可知 )()()(QCQRQL 即 边际利润为边际收入与边际成本之差． )(0xf 表示边际函数在0xx 处的值，它反映了函数)( xfy 在点0x 处y 关于x 的变化速度． 在点0x 处，x 改变了一个单位，即1x，y 相应地改变了y ，如果单位很小，则有)(0xfdyy． 这说明函数)( xf在0xx 处，当x 有一个单位改变时，函数)( xf近似改变了)( xf ． 如： 函数2xy ，xy2， 在10x处边际函数值为20)10(f， 它表示了当10x时，若x 改变了一个单位，函数y 近似地要改变20 个单位． 例 1 设某商品的成本函数为 1010002QC(Q) (单位：C-元，Q-吨 ) 求当120Q时的总成本、平均成本、及边际成本，且当产量Q 为多少时平均成本最小，并求出最小平均成本． 解 总成本 1010002QC(Q), 2 4 4C(1 2 0 )(元 ) 平均成本 QC(Q)(Q)C， 33.20)120(C (元 /吨 ) 边际成本 5Q(Q)C， 24)120(C （什么单位？？） 平均成本函数 y= ,QQ(Q)C101000  由于 y’ = 10110002Q(Q)C 令y’ =0，得唯一驻点100Q．所以当100Q时，平均成本最小，且最小平均成本为20(100)C． 例2 某厂生产某种产品Q 件时的总成本函数为201.0420)(QQQC（元），单位销售价格为QP01.014 （元/件） ，求收入函数),(QR并问产量（销售量）为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？ 解：QQPQR)()(QQ )01.014(201.014QQ  )()()(QCQRQL)01.014(2QQ)01.0420(2QQ  202.01020QQ  )(' QLQ04.010  ...