导数基本公式的证明

1 §2.2 导数的基本公式与运算法则 利用定义 xyx0lim 求函数 xfy  的导数是比较复杂的。自然希望有一些基本公式和运算法则来简化求导过程。 （一） 常数的导数等于 0. ,0,ycy故 00limlim'00xxxyy.所以 0' c （二） 幂函数的导数公式：  1',nnnnxndxdxxxy 设 ,Nnxyn 则nnxxxy)( nnnnnnnnxxxnnxnxxxxxnnxnxx22122121]21[ 于是 12121nnnxxxnnnxxy. 因而 10limnxxnxy，故有  1'nnnxx. 以后我们可以证明：对任意实数 ，都有 1 xxdxd 如  2312121342121,4xxxxx，即 3211xx. 而  101xxx. （三） 若  xu，  xv都可导，则     xvxuxvxu 证 当 x取自变量x ，则  xu，  xv分别取得相应的改变量  ;xuxxuu  xvxxvv. 2 于是  xvxuy 的改变量为   ][][xvxuxxvxxuy   .][][vuxvxxvxuxxu 故   xvxuxvxuxyyxxx000limlimlim     xvxuxvxu. 此公式可以推广为       xuxuxuxuxuxunn2121. 例如，已知 341xxy，则 43433434341xxxxxxy. （四） 乘积的导数公式：       xvxuxvxuxvxu. 证 当x取改变量x ，则 xu, xv分别取改变量   xvxxvvxuxxuu;. 而函数的改变量为 （vxvxxvuxuxxuxvxxvvxuxxuu)()(,)()()()(),()(）     xvxuxxvxxuy                .vuxvuvxuxvxuvuxvxuxvuvx...