小学六年级数学第讲：排列组合

第 十 九 讲 排 列 组 合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从 n个不同的元素中取出 m ( mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从 n个不同的元素中取出 m ( mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同的元素的排列中取出 m 个元素的排列数，我们把它记做mnP ． 根据排列的定义，做一个 m 元素的排列由 m 个步骤完成： 步骤1 ：从 n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有 n种方法； 步骤 2 ：从剩下的(1n )个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n )种方法； …… 步骤m ：从剩下的[(1)]nm个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11nmn m（）(种)方法； 由乘法原理，从n个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n nnn m（）（）（ ），即12.1mnPn nnn m（）（）（ ），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于mn的情况，排列数公式变为123 2 1nnPn nn  （）（）． 表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n的阶乘，则nnP 还可以写为：!nnPn，其中!123 2 1nn nn  （）（） ． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n个...