查漏补缺——最值、周期性行程问题 【最值问题】 1、一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从 A,E两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟? 【解析】 两列火车同时从 A,E 两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.从图中可知: AE 的距离是:225+25+15+230=495(千米),两车相遇所用的时间是:495÷ (60+50)=4.5(小时 ), 相 遇 处 距A站 的 距 离 是 :60× 4.5=270( 千 米 ), 而A,D两 站 的 距 离为:225+25+15=265(千米),由于270 千米>265 千米,因此从 A站开出的火车应安排在D站相遇,才能使停车等待的时间最短.因为相遇处离 D 站距离为 270-265=5(千米),那么,先到达 D 站的火车至少需要等待:1156055060(小时) ， 1160小时=11 分钟 2、从花城到太阳城的公路长 12 公里．在该路的 2 千米处有个铁道路口，是每关闭 3 分钟又开放 3 分钟的．还有在第 4 千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2 分钟红灯后就亮 3 分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？ 【解析】 画出反映交通灯红绿情况的 s t 图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是 0.5 千米／分钟，此时恰好经过第 6 千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要 24 分钟． 3、下图中有两个圆只有一个公共点 A ，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米。两只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ 查漏补缺——最值、周期性行程问题 【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A 点，另一只在过A 的直径另一直径端点B， 所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋12圈； 于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋12)...
