一笔画问题（教师必备） 一、欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中 A，B，C，D 都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 二、顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。 (2)有 K 个奇点的图形要 K÷2 笔才能画成。 例如：下页左上图中的房子共有 B，E，F，G，I，J 六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段 GF 和 BJ 去掉，剩下 I 和 E 两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段 GF 和 BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。 一个 K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道 K 笔画有 2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中 的B，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2 个，从而变成一笔画。 三、到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画，看下面的例题： 1.下列图形分别是几笔画？怎样画？ 2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 3.从A 点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到 A 点，怎样走才能使重复走的路程最短？ 4.下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。 《数学趣闻集锦》之欧拉与哥尼斯堡七桥问题 拓扑学起源于公元1736 年一个著名问题——哥尼斯堡七桥问题——的解决． 哥尼斯堡是位于普累格河上的...
