全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第一讲集合概念及集合上的运算

1 全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰 州 一中数学组 第一讲 集合概念及集合上的运算 知识、方法、技能 高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合. 在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 赛题精讲 Ⅰ．集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例. 例 1：求点集}lglg)9131lg(|),{(33yxyxyx中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知,9131,0,033xyyxyx及 由平均值不等式，有,)91()31()(3913133333xyyxyx 当且仅当333331,91,9131yxyx即（虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素. 【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之. 例 2：已知.} .,22|{} ,,34|{22BAxxxyyBxxxyyA求RR 【思路分析】先进一步确定集合A、B. 2 【略解】,11)2(2xy又.33)1(2xy ∴A=} .31|{} ,3|{} ,1|{yyBAyyByy故 【评述】此题应避免如下错误解法： 联立方程组 .22,3422xxyxxy 消去.0122,2xxy 因方程无实根，故 BA. 这里的错因是将A、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域. 例3：已知集合|} .|||1|||),{(} ,0,|||||),{(yxxyyxBaayxyxA 若BA 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为 . 【思路分析】可作图，以数形结合法来解之. 【略解】点集A 是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）. 将||||1||yxxy，变形为,0)1|)(|1|(|yx 所以，集合B 是由四条直线1,1yx构成. 欲使BA 为正八边形的顶点所构成，只...