- 1 - DCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法 三角形辅助线做法 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 常见辅助线的作法有以下几种: 1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”. 2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线(线段)造全等 例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_________. 本题的关键是如何把AB,AC,AD 三条线段转化到同一个三角形当 中. 解:延长AD 到E,使 DE=DA,连接BE. 又 BD=CD;∠ BDE=∠ CDA. ∴ ⊿ BDE≌ ⊿ CDA(SAS),BE=AC=5. AB-BE
EF 证明: 延长FD 到点G ,使DG =DF,连接BG BD=CD,FD=DG ,∠BDG =∠CDF ∴△BDG ≌△CDF ∴BG =CF ED⊥FG ∴EF=EG 在△ABG 中,BE+BG >EG BG =CF,EG =EF ∴BE+CF >EF 例3、如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证:AD 平分∠BAE. EDCBA 因为 BD=DC=AC,所以 AC=1/2BC 因为 E 是DC 中点,所以 EC=1/2DC=1/2AC...