八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1 八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 文 ： 付 雨 楼 、段永建 今天给大家带来 8 个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文 最开始源自付 雨 楼 老师分享的模型，教研 QQ 群(群号： 545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） cab图1CPAB abc图2PCBA abc图3CBPA abc图4PCO2BA 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出 R 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为1 6 ，则这个球的表面积是（ C ） A．1 6 B．2 0 C．2 4 D．3 2 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 9 解：（1）1 62haV，2a，2 41 64442222haaR，2 4S，选 C； （2）933342R，942 RS （3）在正三棱锥 SABC中， MN、分别是棱 SCBC、的中点，且MNAM ,若侧棱23SA ,则正三棱锥ABCS 外接球的表面积是 。3 6 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心，SH平面 ABC ，ABSH ， BCAC ，BDAD ，ABCD ，AB平面SCD ， SCAB ，同理：SABC ，SBAC ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MNAM ，MNSB //， SBAM ，SBAC ，SB平面 SAC ， (3 )题-1HEDBACS 2 SASB ，SCSB ，SASB ，SABC ， SA平面SBC ，SCSA ， 故三棱锥ABCS 的三棱条侧棱两两互相垂直， 36)32()32()32()2(2222R，即 3642 R， 正三棱锥ABCS 外接球的表面积是36 （4）在四面体SABC中，ABCSA平面，,1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（ D ）11.A 7.B 310.C 340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、4 、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC中，7120cos2222BCABABACBC， 7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr...