八种通项公式求解方法

求数列通项公式的八种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的8种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、二.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．若，则两边分别相加得例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若 f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ;若 f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和 ;若 f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ;若 f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例 3 .已知数列中,且,求 数列的通 项 公 式.解:由 已知得,化 简 有,由 类 型(1)有,又得,所以,又,,则二、累乘法1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若，则两边分别相乘得， nknkfaa111)(例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例 5 .设是 首 项 为1的 正 项 数 列 ， 且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，== .评注： 本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.三、待定系数法 适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如,其中)型（ 1）若 c=1时，数列 { }为等差数列 ;（ 2）若 d=0时，数列 { }为等比数列 ;（ 3）若时，数列 {}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 .待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以 c为公比的等比数列，所以即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为...