2025年高中数学竞赛讲义知识讲解

高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义（十五）──复数一、基础知识1．复数的定义：设 i 为方程 x2=-1 的根，i 称为虚数单位，由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如 a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。一般用 C 来表达。2．复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么 z 与坐标平面唯一一种点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表达，表达复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；假如将(a,b)作为向量的坐标，复数 z 又对应唯一一种向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表达形式，称为向量形式；此外设 z 对应复平面内的点 Z，见图 15-1，连接 OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则 a=rcosθ,b=rsinθ,因此 z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ+isinθ)，则 θ 称为 z 的辐角。若 0≤θ<2π，则 θ 称为 z 的辐角主值，记作 θ=Arg(z). r 称为 z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.假如用 eiθ表达 cosθ+isinθ，则 z=reiθ，称为复数的指数形式。3．共轭与模，若 z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算成果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则 z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为 z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。7．单位根：若 wn=1，则称 w 为 1 的一种 n 次单位根，简称单位根，记 Z1=，则所有单位根可表达为 1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数 k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有 Znq+r=Zr；（2）对任...