小平邦彦：数学的印象 什么是数学？不太清楚。但我以为关心数学的某些人会有这样的感觉，认为数学实 际不就是这么回事吗？本文要叙述一个数学家看到数学的印象，即像我这样对数学专业 以外的事情就不太懂的单纯的数学家，在研究数学时，感到数学是什么呢？我是直率而 不加修饰的谈这一问题以提供读者参考。 一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。 但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作 用就像文法在文学中的作用那样。书写合乎文法的文章与照著文法去写小说完全是两? 事；同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的性质。 通常的逻辑谁都明白，要是数学能归结到逻辑，那么谁都应该懂得数学了。但是初 中高中很多学生理解不了数学却是众所周知的事实。精通语言学但数学成绩不好的学生 不在少数。所以我认为数学在本质上与逻辑不同。 数学 考虑除数学外的自然科学，例如物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学。 在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要‘观 察’数学现象。这里说的‘观察’不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感 觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理能力之类的纯粹感觉，我认为更接近于 视觉。也可称之为直觉，为了强调是纯粹感觉，以下称此感觉为‘数觉’。直觉包含著 「一瞬领悟真谛’的含义，不太贴切。数学的敏锐，如同听觉的敏锐一样，与头脑好坏 没有关系（指本质上没有关系的意思，而不是统计上没有相关关系）。但是要理解数 学，不靠数学便一事无成。没有数觉的人不懂数学就像五音不全的人不懂音乐一样（这 只要担当数学不行的孩子的家庭教师就马上明白。你眼前看到的事情孩子却怎么也看不 见，说明起来很吃力）。数学家自己并不觉得如在证明定理时主要是具备了数觉，所以 就认为是逻辑上作了严密的证明，实际并非如此，如果把证明全部用形式逻辑记号写下 看看就明白了。那就过份冗长，实际上不可能（当然不是说证明在逻辑上不严密。而是 依照数觉，那些明显的事实就略去逻辑推理而已）。最近每每谈及数学的 sense（感 受），而作为数学 sense 基础的感觉，可以说就是数觉。数学家因为都有敏锐的数觉， 自己反倒不觉得了。 数学也以自然现象为对象 把数学的对象看作是自然现象的一部份，也许有人说这不讲道理，但是数学...
