高考数学真题——函数压轴题(含答案)数学全国 1 卷已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,证明:.解:(1)的定义域为,.(i)若,则,当且仅当,时,因此在单调递减.(ii)若,令得,或.当时,;当时,.因此在单调递减,在单调递增.(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足,因此,不妨设,则.由于,因此等价于.设函数,由(1)知,在单调递减,又,从而当时,.因此,即.数学全国 1 卷已知函数ae2x+(a2) e﹣x﹣x.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求 a 的取值范围.(1)的定义域为,,(ⅰ)若,则,因此在单调递减.(ⅱ)若,则由得.当时,;当时,,因此在单调递减,在单调递增.(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一种零点.(ⅱ)若,由(1)知,当时,获得最小值,最小值为.① 当时,由于,故只有一种零点;② 当时,由于,即,故没有零点;③ 当时,,即.又,故在有一种零点.设正整数满足,则.由于,因此在有一种零点.综上,的取值范围为数学全国 1 卷已知函数有两个零点.(I)求 a 的取值范围;(II)设 x1,x2是的两个零点,证明:.【答案】(I);(II)见解析【解析】 试题分析:(I)求导,根据导函数的符号来确定(重要要根据导函数零点来分类);(II)借助(I)的结论来证明,由单调性可知等价于,即.设,则.则当时,,而,故当时,.从而,故.试题解析:(Ⅰ).(i)设,则,只有一种零点.时,因此不存在两个零点.若, 则, 故 当时 ,; 当时 ,. 因 此在单 调 递 减 , 在单调递增.又当时,,因此不存在两个零点.综上,的取值范围为.(Ⅱ)不妨设,由(Ⅰ)知,,在单 调 递 减 , 因 此等 价 于, 即.由于,而,因此.设,则.因此当时,,而,故当时,.从而,故.数学全国 1 卷设函数( )f x=2xaxb,( )g x=()xe cxd,若曲线( )yf x和曲线( )yg x都过点 P(0,2),且在点 P 处有相似的切线42yx(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)当 x ≥-2 时,( )f x≤( )kg x,求k 的取值范围。21.【解析】(Ⅰ)由已知得(0)2, (0)2,(0)4,(0)4fgfg,而( )fx=2xb,( )g x=()xe cxdc,∴a =4,b =2,c =2,d =2……;4 分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2( )42f xxx,( )2(1)xg xex,设函数( )F x=( )( )kg xf x=22(1)42xkexxx(2x ),( )F x=2(2...