高考数学真题——函数压轴题(含答案)数学全国 1 卷已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．解:（1）的定义域为，
（i）若，则，当且仅当，时，因此在单调递减
（ii）若，令得，或
当时，；当时，
因此在单调递减，在单调递增
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当
由于的两个极值点满足，因此，不妨设，则
由于，因此等价于
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，
数学全国 1 卷已知函数ae2x+(a2) e﹣x﹣x
（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求 a 的取值范围
（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，因此在单调递减
（ⅱ）若，则由得
当时，；当时，，因此在单调递减，在单调递增
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一种零点
（ⅱ）若，由（1）知，当时，获得最小值，最小值为
① 当时，由于，故只有一种零点；② 当时，由于，即，故没有零点；③ 当时，，即
又，故在有一种零点
设正整数满足，则
由于，因此在有一种零点
综上，的取值范围为数学全国 1 卷已知函数有两个零点
（I）求 a 的取值范围；（II）设 x1，x2是的两个零点，证明：
【答案】(I)；（II）见解析【解析】 试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（重要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．试题解析：（Ⅰ）．（i）设，则，只有一种零点．时，因此不存在两个零点．若， 则， 故 当时 ，； 当时 ，． 因 此在单 调 递 减 ， 在单调递增．又当时，，因此不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单 调 递 减 ， 因 此等 价 于， 即．由于，而，因此．设，则．因此当时，，而，故当时，．从而，故．数学全国 1 卷设函数( )f x＝2xaxb，( )
