(x,y)二 000(x,y)二 0求得解(%WW，y2)(x,y)，那么极值点必包括在其中，这些点称为函数 nn第十一讲二元函数的极值要求：明白得多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会碰到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有紧密的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值概念设函数 z 二 f(x,y)在点(x,y)的某个邻域内有概念，关于该邻域内的所有(X,y)丰(x,y),若是0000总有 f(x,y)f(x,y)，000000那么称函数 z 二 f(x,y)在点(x,y)有极小值.00函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．例 1.函数 z=xy 在点(0,0)处不取得极值，因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例 2.函数 z 二 3x2+4y2在点(0,0)处有极小值.因为对任何(x,y)有 f(x,y)>f(0,0)二 0.从几何上看，点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面 z=3x2+4y2的极点，曲面在点(0,0,0)处有切平面 z 二 0,从而取得函数取得极值的必要条件.定理 1(必要条件)设函数 z 二 f(x,y)在点(x,y)具有偏导数，且在点(x,y)处有极值，那么它在该点的偏导数必然为零,0000即 fx(x0,y0)二 0，fy(x0,y0)二 0-几何说明假设函数 z二 f(x，y)在点(x0,y0)取得极值 z0，那么函数所表示的曲面在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为z-z0二 fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)是平行于 xoy坐标面的平面 z二 z0*类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为fx肚 z0)二 0，fy(%,y0,z0)二 0，fzS'肚二 0说明上面的定理尽管没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组z 二 f(x,y)的驻点.注意 1 驻点不必然是极值点，如 z=xy 在(0,0)点.如何判别驻点是不是是极值点呢？下面定理回答了那个问题．定理 2(充分条件)设函数 z 二 f(x,y)在点(x,y)的某邻域内持续，且有一阶及二阶持续偏导数，又00f(x,y)二 0，f(x,y)二 0，x00y00令 f(x,y)二 A，f(x,y)二 B，f(x,y)二 C，那么xx00xy00yy00(1) 当 AC-B2>0 时，函数 z 二 f(x,y)在点(x,y)取得极值，且当 A<0 时，有极大值 f(x,y)，当0000A>0 时，有...
