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2025年初中数学竞赛专题选讲勾股定理

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初中数学竞赛专题选讲勾股定理一、内容提要1. 勾股定理及逆定理:△ABC 中 ∠C=Rt∠a2+b2=c22.勾股定理及逆定理的应用①作已知线段 a 的,, ……倍②计算图形的长度,面积,并用计算措施解几何题③证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义:假如三个正整数 a,b,c 满足等式 a2+b2=c2,那么这三个正整数 a,b,c 叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式①罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家 1789――1853)任取两个正整数 m 和 n(m>n),那么 m2-n2,2mn, m2+n2是一组勾股数。②假如 k 是不小于 1 的奇数,那么 k, ,是一组勾股数。③假如 k 是不小于 2 的偶数,那么 k, ,是一组勾股数。④假如 a,b,c 是勾股数,那么 na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。5. 熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41。二、例题例 1.已知线段 a a a 2a 3a a 求作线段a a 分析一:a== 2a ∴a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二:a=∴a 是以 3a 为斜边,以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图(略)例 2.四边形 ABCD 中∠DAB=60 ,∠B=∠D=Rt∠,BC=1,CD=2求对角线 AC 的长 解:延长 BC 和 AD 相交于 E,则∠E=30 ∴CE=2CD=4, 在 Rt△ABE 中 设 AB 为 x,则 AE=2x 根据勾股定理 x2+52=(2x)2, x2= 在 Rt△ABC 中,AC===例 3.已知△ABC 中,AB=AC,∠B=2∠A求证:AB2-BC2=AB×BC 证明:作∠B 的平分线交 AC 于 D, 则∠A=∠ABD, ∠BDC=2∠A=∠C∴AD=BD=BC 作 BM⊥AC 于 M,则 CM=DM AB2-BC2=(BM2+AM2)-(BM2+CM2) =AM2-CM2=(AM+CM)(AM-CM) =AC×AD=AB×BC例 4.如图已知△ABC 中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD 求证:AB=AC 证明:设 AB,AC,BD,CD 分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m, c-b=m-n AD⊥BC,根据勾股定理,得 AD2=c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) -(m+n)(c-b)=0(c-b){(c+b)-(m+n)}=0 c+b>m+n, ∴c-b=0 即 c=b∴AB=AC例 5.已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD>BC求证:AC>BD证明:作 DE∥AC,DF∥BC,交 BA 或延长线于点 E、FACDE 和 BCDF 都是平行四边形∴DE=AC,DF=BC,AE=CD=BF 作 DH⊥AB ...

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