从《Cash》谈一类分治算法的应用分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同．求出子问题的解，就可得到原问题的解．分治算法非常基础，但是分治的思想却非常重要，本文将从今年NOI的一道动态规划问题Cash开始谈如何利用分治思想来解决一类与维护决策有关的问题：例一．货币兑换(Cash)1问题描述小Y最近在一家金券交易所工作．该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和B纪念券（以下简称B券）．每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户．金券的数目可以是一个实数．每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目．我们记录第K天中A券和B券的价值分别为AK和BK（元/单位金券）．为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法．比例交易法分为两个方面：A)卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数OP作为卖出比例，其意义为：将OP%的A券和OP%的B券以当时的价值兑换为人民币；B)买入金券：顾客支付IP元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为IP的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第K天恰好为RateK；例如，假定接下来3天内的Ak、Bk、RateK的变化分别为：时间AkBkRAtek第一天111第二天122第三天223假定在第一天时，用户手中有100元人民币但是没有任何金券用户可以执行以下的操作：时间用户操作人民币(元)A券的数量B券的数量开户无10000第一天买入100元05050第二天卖出50%752525第二天买入60元1555401NOI2007，货币兑换第三天卖出100%20500注意到，同一天内可以进行多次操作．小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate．他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能够获得多少元钱．算法分析不难确立动态规划的方程：设f[i]表示第i天将所有的钱全部兑换成A,B券，最多可以得到多少A券．很容易可以得到一个O(n2)的算法：f[1]←S*Rate[1]/(A[1]*Rate[1]+B[1])Ans←SFori←2tonForj←1toi-1x←f[j]*A[i]+f[j]/Rate[j]*B[i]Ifx>AnsThenAns←xEndForf[i]←Ans*Rate[i]/(A[i]*Rate[i]+B[i])EndForPrint(Ans)O(n2)的算法显然无法胜任题目的数据规模．我们来分析对于i的两个决策j和k，决策j比决策k优当且仅当：(f[j]–f[k])*A[i]+(f[j]/Rate[j]–f[k]/Rate[k])*B[i]>0．不妨设f[j]
