课时素养评价十二 数学归纳法 (25 分钟·50 分)一、选择题(每题 5 分,共 20 分)1.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为 ( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选 C.边数增长 1,顶点也对应增长 1 个,它与和它不相邻的 n-2 个顶点连接成对角线,本来的一条边也成为对角线,因此,对角线增长 n-1 条.2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn能被 x+y 整除”的第二步是 ( )A.假设 n=2k+1 时对的,再推 n=2k+3 时对的(其中 k∈N+)B.假设 n=2k-1 时对的,再推 n=2k+1 时对的(其中 k∈N+)C.假设 n=k 时对的,再推 n=k+1 时对的(其中 k∈N+)D.假设 n=k 时对的,再推 n=k+2 时对的(其中 k∈N+)【解析】选 B.由于 n 为正奇数,因此 n=2k-1(k∈N+).3.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0应取( )A.2B.3C.5D.6【解析】选 C.令 n0分别取 2,3,5,6,依次验证即得.4.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2=,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上( )A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】选 D.当 n=k 时,左端=1+2+3+…+k2.当 n=k+1 时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.二、填空题(每题 5 分,共 10 分)5.用数学归纳法证明不等式 1+ + +……+>成立,起始值应取为 n=________. 【解析】用等比数列求和公式可得>整理得 2n>128⇒n>7,因此 n=8.答案:86.(·余姚高二检测)若 f(n)=1+ + +…+(n∈N+),用数学归纳法验证有关 f(n)的命题时,第一步计算 f(1)=________;第二步“从 n=k 到 n=k+1 时”,f(k+1)=f(k)+________. 【解析】f(1)=1+ = ;假设当 n=k 时,f(k)=1+ + +…+,那么,当 n=k+1 时,f(k+1)=1+ + +…++++,f(k+1)=f(k)+++.答案: ++三、解答题(每题 10 分,共 20 分)7.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N+).【证明】(i)当 n=1 时,等式左边=2,右边=2,故等式成立.(ii)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·5…(2k-1),那么当 n=k+1 时,左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3·5…(2k-1)(2k+1)·2=2k+1·1·3·5…(2k-1)(2k+1)=2k+1·1·3·5…[2(k+1)-1].这就是说当 n=k+1 时等式也成立.由(i)(ii)...
