2025年新教材高中数学第五章数列数学归纳法课时素养评价含解析新人教B版选择性必修第三册

课时素养评价十二 数学归纳法 (25 分钟·50 分)一、选择题(每题 5 分,共 20 分)1.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为 ( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选 C.边数增长 1,顶点也对应增长 1 个,它与和它不相邻的 n-2 个顶点连接成对角线,本来的一条边也成为对角线,因此,对角线增长 n-1 条.2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn能被 x+y 整除”的第二步是 ( )A.假设 n=2k+1 时对的,再推 n=2k+3 时对的(其中 k∈N+)B.假设 n=2k-1 时对的,再推 n=2k+1 时对的(其中 k∈N+)C.假设 n=k 时对的,再推 n=k+1 时对的(其中 k∈N+)D.假设 n=k 时对的,再推 n=k+2 时对的(其中 k∈N+)【解析】选 B.由于 n 为正奇数,因此 n=2k-1(k∈N+).3.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0应取( )A.2B.3C.5D.6【解析】选 C.令 n0分别取 2,3,5,6,依次验证即得.4.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2=,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上( )A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】选 D.当 n=k 时,左端=1+2+3+…+k2.当 n=k+1 时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.二、填空题(每题 5 分,共 10 分)5.用数学归纳法证明不等式 1+ + +……+>成立,起始值应取为 n=________. 【解析】用等比数列求和公式可得>整理得 2n>128⇒n>7,因此 n=8.答案:86.(·余姚高二检测)若 f(n)=1+ + +…+(n∈N+),用数学归纳法验证有关 f(n)的命题时,第一步计算 f(1)=________;第二步“从 n=k 到 n=k+1 时”,f(k+1)=f(k)+________. 【解析】f(1)=1+ = ;假设当 n=k 时,f(k)=1+ + +…+,那么,当 n=k+1 时,f(k+1)=1+ + +…++++,f(k+1)=f(k)+++.答案: ++三、解答题(每题 10 分,共 20 分)7.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N+).【证明】(i)当 n=1 时,等式左边=2,右边=2,故等式成立.(ii)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·5…(2k-1),那么当 n=k+1 时,左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3·5…(2k-1)(2k+1)·2=2k+1·1·3·5…(2k-1)(2k+1)=2k+1·1·3·5…[2(k+1)-1].这就是说当 n=k+1 时等式也成立.由(i)(ii)...