抛物线中焦点弦的有关问题VIP专享

1 x B A y o F B A y o F 抛物线中焦点弦的有关问题 ------新疆实验中学强少华 一直以来，焦点弦都是《圆锥曲线》中的重要知识点，也是高考中的热点问题，针对“抛物线的几何性质”这节课，笔者认为，教师在讲完之后，可适当延伸一些有关“焦点弦”的问题： 知识点 1：若 AB 是过抛物线022ppxy的焦点F 的弦。设 ,,11 yxA22, yxB，则（1）4221pxx；（2）221pyy 证明：如图， （1）若 AB 的斜率不存在时， 依题意,221pxx4221pxx 若 AB 的斜率存在时，设为 ,k 则2:pxkyAB，与pxy22 联立，得 042222222222pkpxkxkpxpxk .4221pxx 综上：.4221pxx （2）接上，pyxpyx2,2222211，,22142221pyypyy 但22121,0pyyyy （2）另证：设2:pmyxAB与pxy22 联立，得 22122,02pyyppmyy 知识点 2：若 AB 是过抛物线022ppxy的焦点F 的弦。设 ,,11 yxA22, yxB，则（1）;21pxxAB（2）设直线AB 的倾斜角为 ，则2sin2pAB 。 证明：（1）由抛物线的定义知 ,2,221pxBFpxAF pxxBFAFAB21 2 B A o y F B A o y F B A o y F K （2）若,2,90210pxx则由（1）知2sin22ppAB 若pxypxkyAB2,2:,9020与设联立，得 042222222222pkpxkxkpxpxk ,22221kkpxx222112kkppxxAB，而 tank， 222sin2tantan12ppAB 知识点 3：若AB 是过抛物线022ppxy的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 证明：过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为 ,11BA、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r .2211rMNMNBBAABFAFABr 以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 知识点 4：若AB 是过抛物线022ppxy的焦点F 的弦。过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为 ,11BA、则01190FBA。 证明略 知识点 5：若AB 是过抛物线022ppxy的焦点F 的弦，抛物线的准线与x 轴相交于点K ，则.BKFAKF 证明：过点BA、分别作准线的垂线，垂足分别为 .11BA、 11////BBKFAA BBBFAAAFFBAFKBKA1111,...