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抽象函数与具体函数值域的求法

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1 抽象函数与具体函数值域的求法 例1 已知函数f(x )对任意实数x 、y 均有f(x +y )=f(x )+f(y ),且当x >0时,f(x )>0,f(-1)= -2 求f(x )在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数f(x )在R 上是增函数(注意到f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)+f(x 1));再根据区间求其值域. 例2 已知函数f(x )对任意实数x 、y 均有f(x +y )+2=f(x )+f(y ),且当x >0 时,f(x )>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3 的解. 分析:先证明函数f(x )在R 上是增函数(仿例1);再求出f(1)=3;最后脱去函数符号. 例3 已知函数f(x )对任意实数x 、y 都有f(x y )=f(x )f(y ),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x <1 时,f(x )∈[0,1]. (1) 判断f(x )的奇偶性; (2) 判断f(x )在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; (3) 若a≥0 且f(a+1)≤,求a 的取值范围. 分析:(1)令y =-1; (2)利用f(x 1)=f(·x 2)=f()f(x 2); (3)0≤a≤2. 例4 设函数f(x )的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x 1≠x 2,使得 f(x 1)≠f(x 2);对任何 x 和 y ,f(x +y )=f(x )f(y )成立.求: (1) f(0); (2) 对任意值x ,判断f(x )值的符号. 分析:(1)令x = y =0;(2)令y =x ≠0. 例5 是否存在函数f(x ),使下列三个条件:①f(x )>0,x ∈N;②f(a+b )= f(a)f(b ),a、b ∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出f(x )的解析式,若不存在,说明理由. 分析:先猜出f(x )=2x;再用数学归纳法证明. 例6 设 f(x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x ·y )=f(x )+f(y ),f(3)=1,求: (1) f(1); (2) 若f(x )+f(x -8)≤2,求x 的取值范围. 分析:(1)利用3=1×3; (2)利用函数的单调性和已知关系式. 2 例7 设函数y= f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由. 分析:设f(a)=m,f(b)=n,则 g(m)=a,g(n)=b, 进而 m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]…. 例8 已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: ① x1、x2 是定义域中的数时,有 ...

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