抽象函数与具体函数值域的求法VIP专享

1 抽象函数与具体函数值域的求法 例1 已知函数f（x ）对任意实数x 、y 均有f（x ＋y ）＝f（x ）＋f（y ），且当x >0时，f(x )>0，f(－1)＝ －2 求f(x )在区间[－2,1]上的值域. 分析：先证明函数f（x ）在R 上是增函数（注意到f（x 2）＝f[（x 2－x 1）＋x 1]＝f（x 2－x 1）＋f（x 1））；再根据区间求其值域. 例2 已知函数f（x ）对任意实数x 、y 均有f（x ＋y ）＋2＝f（x ）＋f（y ），且当x >0 时，f(x )>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3 的解. 分析：先证明函数f（x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号. 例3 已知函数f（x ）对任意实数x 、y 都有f（x y ）＝f（x ）f（y ），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x ＜1 时，f（x ）∈[0，1]. （1） 判断f（x ）的奇偶性； （2） 判断f（x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3） 若a≥0 且f（a＋1）≤，求a 的取值范围. 分析：（1）令y ＝－1； （2）利用f（x 1）＝f（·x 2）＝f（）f（x 2）； （3）0≤a≤2. 例4 设函数f（x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得 f（x 1）≠f（x 2）；对任何 x 和 y ，f（x ＋y ）＝f（x ）f（y ）成立.求： （1） f（0）； （2） 对任意值x ，判断f（x ）值的符号. 分析：（1）令x = y ＝0；（2）令y ＝x ≠0. 例5 是否存在函数f（x ），使下列三个条件：①f（x ）>0,x ∈N；②f（a＋b ）＝ f（a）f（b ），a、b ∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x ）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出f（x ）＝2x；再用数学归纳法证明. 例6 设 f（x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足 f（x ·y ）＝f（x ）＋f（y ），f（3）＝1，求： （1） f（1）； （2） 若f（x ）＋f（x －8）≤2，求x 的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3； （2）利用函数的单调性和已知关系式. 2 例7 设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则 g（m）＝a，g（n）＝b， 进而 m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]…. 例8 已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ① x1、x2 是定义域中的数时，有 ...