抽象函数几类问题的解题方法与技巧

1 一、求解析式的一般方法 1、换元法 例1：已知f(x+1)=x2-2x 求f(x) 解：令t=x+1 则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t-3 ∴f(x)=x2-4x-3 换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。 2、方程组法 例2：若函数 f(x)满足 f(x)+2f( x1)=3x，求f(x) 解：令x= x1则f( x1)+2f(x)= x3 f(x)+2f( x1)=3x ＝＞f(x)= x2-x 2f(x)+f( x1)= x3 ∴f(x)= x2-x 例3 . 例4 3、待定系数法 例5：如果 f[f(x)]=2x-1 则一次函数 f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设 f(x)=ax+b(a≠0) 则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1 2 例6：已知f(x )是多项式函数， 解:由已知得f(x )是二次多项式，设f(x )=ax 2+bx +c (a≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x )=x 2-2x -1. 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 二、判断奇偶性的一般方法 在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。 例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。 （1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f() （2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0 求证（I）f(x)是奇函数,（II）f( 证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0 令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x) =f(=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 例8 定义在R 上的函数f(x)，对任意 x,y 属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0 （1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数 证明：（1）令x=y=0 ∴f(0)+f(0)=2×f(0)2 f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令x=0 则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y) 3 f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数 例9. 对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且f(1) ≠0, 则f(2001)=_______. 解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2, 三、单调性的求解方法 例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0 时，f(x)＜0 恒成立。 （1）判断函数f(x)的奇偶性。 （2）证明：f(x)为减函数，若函数f(x)在[-3、3]上总有f(x)≤6 成立，试确定f(x)应满足的条件。 （3）解关于x 的不等式n1 f(ax2)-f(x)＞n1 (a2x)-f(a)(n 是一个给定的自然数a＜0) 解：（1）f(x)为奇函数 证明如下 令x=0、y=0 则f(0+0)=f(0)+f(0) => f(0)=0 令y=-...