指数函数典型例题

指数函数典型例题 1 根式的性质 例 1 已知1122aa=3，求下列各式的值： （1）1aa； （2）22aa； （3）33221122aaaa． 补充：立方和差公式3322()()abab aabb. 小结：① 平方法；② 乘法公式； ③ 根式的基本性质npnmpmaa（a≥0）等. 注意， a≥0 十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，236 ( 8)8 . 变式：已知11223aa ，求： （1）1122aa； （2）3322aa. 练 1. 化简：11112244()()xyxy. 练 2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值. （1）1122xx； （2）3322xx. 2 指数函数的图象和性质 比较指数函数的大小 已知函数 2( )f xxbxc 满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xf b与()xf c的大小关系是_____． 分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内． 解： (1)(1)fxfx， ∴函数( )f x 的对称轴是1x  ． 故2b ，又(0)3f ，∴3c  ． ∴函数( )f x 在1，∞上递减，在1 ，∞ 上递增． 若0x≥，则321xx≥≥，∴(3 )(2 )xxff≥； 若0x ，则321xx ，∴(3 )(2 )xxff． 综上可得(3 )(2 )xxff≥，即()()xxf cf b≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 求解有关指数不等式 已知2321(25)(25)xxaaaa，则x 的取值范围是___________ ． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解： 2225(1)441aaa≥， ∴函数2(25)xyaa在()，∞∞上是增函数， ∴31xx ，解得14x ．∴x 的取值范围是14，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 求定义域及值域问题 求下列函数的定义域与值域. (1)y＝231x; (2)y ＝4x+2x+1+1. 解：(1) x-3≠0，∴y＝231x的定义域为｛x｜x∈R 且x≠3｝.又 31x≠0，∴231x≠1， ∴y＝231x的值域为｛y｜y>0 且y≠1｝. (2)y＝4x+2x+1+1 的定义域为R. 2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1. ∴y＝4x+2x+1+1 的值域为｛y｜y>1｝. 求函数216 xy的定义域和值域． 解：由题意可得2160x ≥，...