椭圆中的焦点三角形及求离心率问题

精品文档---下载后可任意编辑椭圆中的焦点三角形及求离心率问题1、若椭圆方程为＋＝1，∠PF1F2＝90°，试求△PF1F2的面积．【解】 椭圆方程＋＝1，知 a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，因此 S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF1|＝.故所求△PF1F2的面积为.2、设 F1，F2是椭圆＋＝1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( B ) A．5 B．4 C．3 D．1【解】 由椭圆方程，得 a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由 22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选 B. 3、过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．【解】由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝x，又|F1F2|＝2c，所以 x＝.即|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以＋＝2a，即 e＝＝.4、已知椭圆的两焦点为 F1、F2，A 为椭圆上一点，且AF1·AF2＝0，∠AF2F1＝60°，则该椭圆的离心率为________．【解】 AF1·AF2＝0，∴AF1⊥AF2，且∠AF2F1＝60°.设|F1F2|＝2c，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c.由椭圆定义知：c＋c＝2a 即(＋1)c＝2a.∴e＝＝＝－1.5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A ) 6、设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与 x 轴交于点 A，以 OA 为边作等腰三角形 OAP，其顶点 P 在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．【解】设 A(a,0)，点 P 在第一象限，由题意，点 P 的横坐标是，设 P，由点 P 在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即 P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故 tan∠POA＝＝，所以 a＝3b，所以 e＝＝＝＝.7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率．【解】 如图，设椭圆两焦点为 F1，F2，与正六边形其中两个交点为 A，B，并设正六边形边长为 m，则根据正六边形的性质有：∠FAB＝120°，|OF1|＝m，根据余弦定理 F1B2＝m2＋m2－2m·m·cos 120°＝3m2，∴F1B＝m，又 2a＝F1B＋BF2＝m＋m，∴a＝m...