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椭圆中的焦点三角形及求离心率问题

椭圆中的焦点三角形及求离心率问题_第1页
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精品文档---下载后可任意编辑椭圆中的焦点三角形及求离心率问题1、若椭圆方程为+=1,∠PF1F2=90°,试求△PF1F2的面积.【解】 椭圆方程+=1,知 a=2,c=1,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,且|F1F2|=2,在△PF1F2中,∠PF1F2=90°.∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2.从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+4,则|PF1|=,因此 S△PF1F2=·|F1F2|·|PF1|=.故所求△PF1F2的面积为.2、设 F1,F2是椭圆+=1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( B ) A.5 B.4 C.3 D.1【解】 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由 22+42=(2)2可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选 B. 3、过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为________.【解】由题意,△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=60°,所以|PF2|=2|PF1|.设|PF1|=x,则|PF2|=2x,|F1F2|=x,又|F1F2|=2c,所以 x=.即|PF1|=,|PF2|=.由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a,所以+=2a,即 e==.4、已知椭圆的两焦点为 F1、F2,A 为椭圆上一点,且AF1·AF2=0,∠AF2F1=60°,则该椭圆的离心率为________.【解】 AF1·AF2=0,∴AF1⊥AF2,且∠AF2F1=60°.设|F1F2|=2c,∴|AF1|=c,|AF2|=c.由椭圆定义知:c+c=2a 即(+1)c=2a.∴e===-1.5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为(A ) 6、设椭圆+=1(a>b>0)与 x 轴交于点 A,以 OA 为边作等腰三角形 OAP,其顶点 P 在椭圆上,且∠OPA=120°,求椭圆的离心率.【解】设 A(a,0),点 P 在第一象限,由题意,点 P 的横坐标是,设 P,由点 P 在椭圆上,得+=1,y2=b2,即 P,又∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故 tan∠POA==,所以 a=3b,所以 e====.7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个点与两焦点,恰好组成一个正六边形,求这个椭圆的离心率.【解】 如图,设椭圆两焦点为 F1,F2,与正六边形其中两个交点为 A,B,并设正六边形边长为 m,则根据正六边形的性质有:∠FAB=120°,|OF1|=m,根据余弦定理 F1B2=m2+m2-2m·m·cos 120°=3m2,∴F1B=m,又 2a=F1B+BF2=m+m,∴a=m...

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