第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。10.1二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设：(1)市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-AskSpread)、没有经纪商佣金(BrokerageCommission)、信息对称等。(2)投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。(3)允许以无风险利率借入和贷出资金。(4)允许完全使用卖空所得款项。(5)未来股票的价格将是两种可能值中的一种。为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。1.单一时期内的买权定价假设股票今天(t=0)的价格是100美元，一年后(t=1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。期权的执行价格为110美元。年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。如图10-1所示。图10-1买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。现在股价为100美元，1年后股价有两种状态：上升20%后，股价记作uS，为120美元，下降10%后，股价记作dS，为90美元，执行价格为110美元，根据前面的介绍，股票买权的到期价格分别为10美元和0，那么在t=0时买权的真实值(内在价值)为了给这个买权定价，我们可以用这个股票和无风险债券的投资组合来模拟买权的价值。这个投资组合在没有套利机会时等于这个买权的价格；相反，如果存在套利机会，投资者可以购买两种资产中较便宜的一种，出售较贵的另一种，而得到获利的机会。然而，这只能在很短的时间出现。这个投资组合不仅给出了买权的定价方法，而且还提供了一种对冲(套期保值)的方法。假设投资者购买N股股票且投资在无风险债券上，那么投资组合今天的值为(10-1)等式左端表示组合今天的值模拟买权的值，它们相等。1年后股价上升20%，为120美元，买权价格为10美元；下降10%，股价为90美元，买权价格为0美元。无风险债券为，因此可得(10-2)(10-3)从上面两式可以看出，1年后，无论股价如何变动并影响无风险资产的投资，它都是。由式(10-2)、式(10-3)可得和(美元)的负值表示以无风险利率借27.78美元或卖空这种债券。代入式(10-1)，今天(t=0)的买权值为(美元)如果今天的买权价格高于或低于5.55美元，即买权价格被高估或低估，这时投资者会采取什么行动呢？假设现在买权价格为10美元，投资者将以10美元出售这个买权，同时购买0.3333股股票且以无风险利率借27.78美元，那么在t=0时投资者有净盈利：(美元)在年底，即t=T=1，投资者的净盈余如表10-1所示。表10-1投资者的净盈余组合成分上升状态利润下降状态利润出售买权-100股票投资0.3333×120=400.3333×90=30贷款偿付-27.78×1.08=-30-27.08×1.08=-30净盈余00这就是说，无论股票的最终价格如何，净利润是零。投资者使用这种策略没有风险损失。只要买权定价在10美元，投资者现在都能得到不用付任何成本的盈利4.45美元。显然，这不是均衡状态，买权价格最终要调整到已知现在股价为100美元时的5.55美元。如果买权3美元出售，这时它被低估，投资者将购买一个买权，卖空0.3333股股票且以无风险利率借27.78美元，那么在t=0时投资者有净盈利：(美元)在年底，即t=T=1，投资者的净盈余如表10-2所示。表10-2投资者的净盈余组合成分上升状态利润下降状态利润买权投资100偿付卖空股票-0.3333×120=-40-0.3333×90=-30续表组合成分上升状态利润下降状态利润无风险投资...
