极坐标系与参数方程 编稿：侯彬 审稿：安东明 责编：辛文升 一、基础知识回顾 1．极坐标系 （1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的 正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O 点称为极点，Ox 称为极轴。 平面上任意点M 的位置可以由线段OM 的长度（≥0）和从Ox 到OM 的角度来刻画，这两个数组 成的有序数对称为点M 的极坐标。称为极径，称为极角。多数情况下，我们用弧度制度 量。 注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M 的一组极坐标为，则 （k∈Z）也是点M 的极坐标。若限定，则除原点外，点其极坐标一 一对应。 （2）极坐标系与直角坐标系的互化 在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以的射线作 y 轴的 正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。 设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为。画图可知： ，或。 （3）曲线的极坐标方程的概念 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程。如果曲线C 是由极坐标满足 方程的所有点组成的，则称此二元方程为曲线C 的极坐标方程。 也就是说：①以方程的解为坐标的点在曲线C 上； ②曲线C 上的点的至少一组坐标是方程的解。 （4）直线的极坐标方程 ①经过极点：或。 ②垂直于极轴且与极点距离为a（＞0）：。 ③平行于极轴且与极点距离为a（＞0）：。 （5）圆的极坐标方程 ①圆心为极点，半径为r：。 ②圆心为（r，0），半径为r：。 ③圆心为，半径为r：。 ④圆心为，半径为r：。 ⑤圆心为，半径为r：。 2．参数方程 （1）定义：平面直角坐标系上点的坐标x，y 表示为第三个变量 t 的函数，，参数 t 是 联系 x，y 的桥梁，消去 t 即得到方程F(x，y)=0。 注意：①对 t 的每一取值，方程组确定的点（x，y）在曲线上； ②线上任一点（x，y）都可由 t 的某一取值通过方程组可得到。 （2）已知直线经过定点P0(x0，y0)，倾斜角为，则方向向量，直线上任意一点 P(x，y)满足，则（t 为参数）。 注意：参数 t 的意义： ①t 的符号：相对于 P0（x0，y0）的位置。②t 的绝对值：|P0P|=|t|。 若已知一般的方向向量类似于上述过程（t为参数），但此时参数t就不具 有上述参数方程的意义。 （3）圆的参数方程：，为参数。 椭圆的参数方程：，为参数。 二、典型例题 1．...
