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极限的求法与技巧

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极 限 的 求 法 与技巧 姓名:印溪 学号:B09060503 函数极限的计算是数学分析的基础,那么如何根据表达式求出极限值呢?对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法,更多方法,有赖于人们去总结和发现。 1.运用极限的定义 例:用极限定义证明:1223lim22xxxx 证: 由244122322xxxxxx 222 2xxx 0 取  则当20x 时,就有 12232xxx 由函数极限 定义有: 1223lim22xxxx 2. 利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系: ,~arctan~arcsin,~tan,~sin,0xxxxxxxxx  等价无穷小代换法 ,~1xe x ,ln~1axa x ,~)1ln(xx,ln~)1(logaxxa,21~11xx ,1~11xnxn,~1)1(xx  设'',,, 都是同一极限过程中的无穷小量,且有: ''~,~, ''lim  存在, 则 lim 也存在,且有lim= ''lim  例:求极限2220sincos1limxxxx 解: ,~sin22xx 2)(~cos1222xx  2220sincos1limxxxx=212)(2222xxx 注: 在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 3.利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下: 若 Axfxx)(lim0 Bxgxx)(lim0 (I) )()(lim0xgxfxx )(lim0xfxxBAxgxx)(lim0 (II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000 (III)若 B≠0 则: BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000 (IV)cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00 (c为常数) 上述性质对于时也同样成立xxx,, 总的说来,就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例:求 453lim22xxxx 解: 453lim22xxxx=254252322 4、利用两个重要的极限。 1sinlim)(0xxAx exBxx)11(lim)( 但我们经常使用的是它们的变形: ))((,))(11lim()()0)((,1)()(sinlim)()(''xexBxxxAx 例:求下列函数极限 xa xx1lim)1(0、 bxaxxcoslncoslnlim)2(0、 )1ln(ln1 ln)1ln( ,11 uauxaauxuaxx于是则)令解:( auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1...

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