极限的求法与技巧

极 限 的 求 法 与技巧 姓名：印溪 学号：B09060503 函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢?对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总结和发现。 1.运用极限的定义 例：用极限定义证明:1223lim22xxxx 证: 由244122322xxxxxx 222 2xxx 0 取  则当20x 时,就有 12232xxx 由函数极限 定义有: 1223lim22xxxx 2. 利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系： ,~arctan~arcsin,~tan,~sin,0xxxxxxxxx  等价无穷小代换法 ,~1xe x ,ln~1axa x ,~)1ln(xx,ln~)1(logaxxa,21~11xx ,1~11xnxn,~1)1(xx  设'',,, 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~， ''lim  存在， 则 lim 也存在，且有lim= ''lim  例:求极限2220sincos1limxxxx 解: ,~sin22xx 2)(~cos1222xx  2220sincos1limxxxx=212)(2222xxx 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 3．利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下： 若 Axfxx)(lim0 Bxgxx)(lim0 (I) )()(lim0xgxfxx )(lim0xfxxBAxgxx)(lim0 (II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000 (III)若 B≠0 则： BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000 （IV）cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00 （c为常数） 上述性质对于时也同样成立xxx,, 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例：求 453lim22xxxx 解: 453lim22xxxx=254252322 4、利用两个重要的极限。 1sinlim)(0xxAx exBxx)11(lim)( 但我们经常使用的是它们的变形： ))((,))(11lim()()0)((,1)()(sinlim)()(''xexBxxxAx 例：求下列函数极限 xa xx1lim)1(0、 bxaxxcoslncoslnlim)2(0、 )1ln(ln1 ln)1ln( ,11 uauxaauxuaxx于是则）令解：（ auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1...